Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=t^{2} e^{t} \sin 2 t

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a forma de uma solução particular para a equação
y''-2y'+5y = t^{2} e^{t}\sin 2t.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O lado direito é t^{2} e^{t}\sin 2t: um polinômio em t (grau 2) multiplicado por uma exponencial e^{t} e por \sin 2t.
  • Não há outras condições iniciais ou valores a satisfazer — só precisamos de uma solução particular (qualquer uma) da equação não-homogênea.

Passo 2

Estratégia (sem resolver ainda): quando o lado direito tem a forma P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t) ou P(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t), é eficiente usar o método dos coeficientes a determinar via complexificação. Vou tratar o termo trigonométrico usando a exponencial complexa: note que
t^{2} e^{t}\sin 2t=\operatorname{Im}\big(t^{2} e^{(1+2i)t}\big).
Então encontro primeiro uma solução particular complexa Y_p da equação
y''-2y'+5y = t^{2} e^{(1+2i)t},
e depois tomarei a parte imaginária de Y_p para obter uma solução particular real para o problema original. Isso é permitido porque a equação tem coeficientes reais e o operador é linear.

Passo 3

Identifico as raízes do polinômio característico da parte homogênea:
r^{2}-2r+5=0.
Resolve-se:
r=1\pm 2i.
Ou seja, r_{0}=1+2i é uma raiz simples. Observação importante: o termo forçante envolve e^{(1+2i)t}, justamente do tipo e^{r_{0}t}. Como r_{0} é uma raiz simples do característico, há ressonância de ordem 1. Pela regra dos coeficientes a determinar, devemos multiplicar por um fator t^{s} com s=1 a ansatz polinomial correspondente ao t^{2}.

Passo 4

Faço a ansatz complexa apropriada: procuro uma solução particular complexa na forma
Y_p(t)=e^{(1+2i)t}p(t),
onde p(t) é um polinômio. Pelo motivo da ressonância (multiplicidade 1) e do polinômio de grau 2 no forçante, escolho p(t) como polinômio de grau 3:
p(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t + D,
com A,B,C,D complexos. (Depois veremos que D pode ser tomado 0 porque corresponde a termos homogêneos.)
Agora vou calcular L[Y_p] com L[y]=y''-2y'+5y. Se Y_p=e^{r_{0}t}p(t) e r_{0}=1+2i, então
Y_p' = e^{r_{0}t}(r_{0}p + p'),\qquad Y_p'' = e^{r_{0}t}(r_{0}^{2}p + 2r_{0}p' + p'').
Substituindo em L[Y_p]:
L[Y_p] = e^{r_{0}t}\big(p'' + (2r_{0}-2)p' + (r_{0}^{2}-2r_{0}+5)p\big).
Mas r_{0} é raiz do polinômio característico, logo r_{0}^{2}-2r_{0}+5=0. Assim simplifica para
L[Y_p] = e^{r_{0}t}\big(p'' + (2r_{0}-2)p'\big).

Passo 5

Imponho que L[Y_p]=t^{2} e^{r_{0}t}. Cancelando o fator e^{r_{0}t} obtemos a equação para p:
p'' + (2r_{0}-2)p' = t^{2}.
Agora substituo r_{0}=1+2i e calculo 2r_{0}-2:
2r_{0}-2 = 2(1+2i)-2 = 4i.
Portanto a equação fica
p'' + 4i\, p' = t^{2}.

Passo 6

Vou escolher p(t) explicitamente como polinômio de grau 3 sem restringir D ainda:
p(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t + D.
Calculo as derivadas:
p'(t)=3A t^{2}+2B t + C,\qquad p''(t)=6A t + 2B.
Substituo em p'' + 4i\,p' = t^{2}:
(6A t + 2B) + 4i(3A t^{2}+2B t + C) = t^{2}.
Organizo por potências de t:
(4i\cdot 3A) t^{2} + \big(6A + 4i\cdot 2B\big) t + \big(2B + 4i C\big) = 1\cdot t^{2} + 0\cdot t + 0.
Isto gera um sistema de equações para os coeficientes (igualando coeficientes de t^{2},t,1):
\begin{cases} 12i\,A = 1,\\[4pt] 6A + 8i\,B = 0,\\[4pt] 2B + 4i\,C = 0. \end{cases}]

Passo 7

Resolvo o sistema passo a passo.
Da primeira equação:
A=\frac{1}{12i} = -\frac{i}{12},
porque \dfrac{1}{i}=-i.
Da segunda equação:
8i\,B = -6A \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{6A}{8i}.
Substituindo A=-\dfrac{i}{12}:
-6A = -6\left(-\frac{i}{12}\right)=\frac{i}{2},
então
B=\frac{\tfrac{i}{2}}{8i}=\frac{1}{16}.
(Observe que os i se cancelam.)
Da terceira equação:
4i\,C = -2B \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{2B}{4i} = -\frac{B}{2i}.
Usando B=\dfrac{1}{16} e 1/i=-i, obtemos
C = -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2i} = -\frac{1}{32i} = \frac{i}{32}.
Quanto a D: ele não aparece nas equações (o operador L anula termos multiplicativos e^{r_{0}t} constantes em p quando r_{0} é raiz), isto significa que D corresponde a um termo da solução homogênea; para escolher uma solução particular podemos tomar D=0. Portanto:
p(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t
com
A=-\frac{i}{12},\qquad B=\frac{1}{16},\qquad C=\frac{i}{32}.

Passo 8

Escrevo p separando parte real e imaginária. Como
p(t)=\underbrace{\frac{1}{16}t^{2}}_{u(t)} \;+\; i\underbrace{\Big(-\frac{1}{12}t^{3}+\frac{1}{32}t\Big)}_{v(t)},
isto é p(t)=u(t)+i v(t) com
u(t)=\frac{1}{16}t^{2},\qquad v(t)=-\frac{1}{12}t^{3}+\frac{1}{32}t.
Lembre que a solução particular complexa é
Y_p(t)=e^{(1+2i)t}p(t)=e^{t}\big(u+iv\big)\big(\cos 2t + i\sin 2t\big).
Multiplicando e tomando a parte imaginária (porque o forçante original é a parte imaginária de t^{2}e^{(1+2i)t}), obtemos a solução particular real:
y_p(t)=\operatorname{Im}(Y_p(t)) = e^{t}\big(u(t)\sin 2t + v(t)\cos 2t\big).

Passo 9

Substituo u(t) e v(t) para escrever explicitamente y_p:
y_p(t)=e^{t}\left(\frac{1}{16}t^{2}\sin 2t + \Big(-\frac{1}{12}t^{3}+\frac{1}{32}t\Big)\cos 2t\right).
Posso reorganizar os termos (por estética) como:
y_p(t)=e^{t}\left(-\frac{1}{12}t^{3}\cos 2t + \frac{1}{32}t\cos 2t + \frac{1}{16}t^{2}\sin 2t\right).

Resposta

y_p(t)=e^{t}\left(-\frac{1}{12}t^{3}\cos 2t + \frac{1}{32}t\cos 2t + \frac{1}{16}t^{2}\sin 2t\right)

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