Encontre a forma de uma solução particular para a equação y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=t^{2} e^{t} \sin 2 t
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a forma de uma solução particular para a equação
y''-2y'+5y = t^{2} e^{t}\sin 2t.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
O lado direito é t^{2} e^{t}\sin 2t: um polinômio em t (grau 2) multiplicado por uma exponencial e^{t} e por \sin 2t.
Não há outras condições iniciais ou valores a satisfazer — só precisamos de uma solução particular (qualquer uma) da equação não-homogênea.
Passo 2
Estratégia (sem resolver ainda): quando o lado direito tem a forma P(t)e^{\alpha t}\cos(\beta t) ou P(t)e^{\alpha t}\sin(\beta t), é eficiente usar o método dos coeficientes a determinar via complexificação. Vou tratar o termo trigonométrico usando a exponencial complexa: note que
Então encontro primeiro uma solução particular complexa Y_p da equação
y''-2y'+5y = t^{2} e^{(1+2i)t},
e depois tomarei a parte imaginária de Y_p para obter uma solução particular real para o problema original. Isso é permitido porque a equação tem coeficientes reais e o operador é linear.
Passo 3
Identifico as raízes do polinômio característico da parte homogênea:
r^{2}-2r+5=0.
Resolve-se:
r=1\pm 2i.
Ou seja, r_{0}=1+2i é uma raiz simples. Observação importante: o termo forçante envolve e^{(1+2i)t}, justamente do tipo e^{r_{0}t}. Como r_{0} é uma raiz simples do característico, há ressonância de ordem 1. Pela regra dos coeficientes a determinar, devemos multiplicar por um fator t^{s} com s=1 a ansatz polinomial correspondente ao t^{2}.
Passo 4
Faço a ansatz complexa apropriada: procuro uma solução particular complexa na forma
Y_p(t)=e^{(1+2i)t}p(t),
onde p(t) é um polinômio. Pelo motivo da ressonância (multiplicidade 1) e do polinômio de grau 2 no forçante, escolho p(t) como polinômio de grau 3:
p(t)=A t^{3}+B t^{2}+C t + D,
com A,B,C,D complexos. (Depois veremos que D pode ser tomado 0 porque corresponde a termos homogêneos.)
Agora vou calcular L[Y_p] com L[y]=y''-2y'+5y. Se Y_p=e^{r_{0}t}p(t) e r_{0}=1+2i, então
8i\,B = -6A \quad\Rightarrow\quad B = -\frac{6A}{8i}.
Substituindo A=-\dfrac{i}{12}:
-6A = -6\left(-\frac{i}{12}\right)=\frac{i}{2},
então
B=\frac{\tfrac{i}{2}}{8i}=\frac{1}{16}.
(Observe que os i se cancelam.)
Da terceira equação:
4i\,C = -2B \quad\Rightarrow\quad C = -\frac{2B}{4i} = -\frac{B}{2i}.
Usando B=\dfrac{1}{16} e 1/i=-i, obtemos
C = -\frac{1}{16}\cdot\frac{1}{2i} = -\frac{1}{32i} = \frac{i}{32}.
Quanto a D: ele não aparece nas equações (o operador L anula termos multiplicativos e^{r_{0}t} constantes em p quando r_{0} é raiz), isto significa que D corresponde a um termo da solução homogênea; para escolher uma solução particular podemos tomar D=0. Portanto: