Questão:
O campo magnético de uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo é descrito pela equação:
.
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando? (b) Encontre o vetor de onda k e a frequência f da onda. (c) Determine a expressão do campo elétrico E desta onda. (d) Determine o vetor de Poynting S.
O campo magnético de uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo é descrito pela equação:
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando? (b) Encontre o vetor de onda k e a frequência f da onda. (c) Determine a expressão do campo elétrico E desta onda. (d) Determine o vetor de Poynting S.
Passo 1
O enunciado nos dá o campo magnético de uma onda plana no vácuo:
As perguntas são:
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Encontre o vetor de onda e a frequência
.
(c) Determine o campo elétrico desta onda.
(d) Determine o vetor de Poynting .
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Encontre o vetor de onda
(c) Determine o campo elétrico
(d) Determine o vetor de Poynting
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Amplitude do campo magnético (vetor complexo de amplitude):
. Vou chamar , então . - Dependência de fase:
. Assim o módulo do vetor de onda (número de onda) é e a velocidade angular é . - Notação de vetores:
são as direções .
Observação importante (vou tratar isso claramente nos próximos passos): para uma onda eletromagnética no vácuo vale
(com
velocidade da luz). Os valores numéricos dados fornecem
, que NÃO é
. Isso indica um possível erro tipográfico nos números do enunciado. Como o enunciado afirma “no vácuo”, usarei as relações corretas das ondas eletromagnéticas no vácuo (onde
) para obter a forma vetorial correta das grandezas; quando for útil eu também apresento os valores numéricos diretos que saem dos dados fornecidos.
Passo 2
Direção e sentido de propagação (resposta da parte a).
Raciocínio (intuitivo e direto): uma onda plana com dependência de fase
se propaga na direção do vetor de onda
. No enunciado a fase é
, ou seja
. Portanto o vetor de onda aponta ao longo do eixo
positivo. Outra maneira: superfícies de fase constante satisfazem
, como
o ponto de fase fixa desloca-se para valores maiores de
com o tempo. Conclusão:
- A onda propaga-se ao longo do eixo
no sentido positivo; direção: (sentido +x).
Passo 3
Vetor de onda
e frequência
(parte b).
- O vetor de onda (direção +x, módulo
) é
- A frequência (ciclos por segundo) é
. Com :
- comprimento de onda (opcional útil):
- velocidade de fase obtida diretamente dos números dados:
o que, conforme observado, CONTRADIZ o fato de ser “no vácuo” (onde deveria dar
). Vou continuar usando a relação vetorial correta entre
e
para uma onda no vácuo (ver passo seguinte) e, quando fizer substituições numéricas, empregarei
para obter valores fisicamente consistentes; caso se queira usar estritamente
dos dados, basta substituir
por
nas fórmulas.
Passo 4
Determinar
(parte c). Explicação teórica curta e didática antes de aplicar:
- Para uma onda plana no vácuo os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e perpendiculares à direção de propagação. Em regime harmônico (mesma dependência de fase), as amplitudes vetoriais satisfazem a relação que vem das equações de Maxwell (em forma de fasores):
- A partir disso pode-se achar
. Procedimento algébrico (mostrando por que funciona): supondo (transversalidade), multiplica-se a relação acima por e usa-se identidade vetorial para isolar ; o resultado é
No vácuo
(velocidade da luz), então a forma usual é
Isto significa: pegue
, faça o produto vetorial com o versor de propagação, multiplique por
— o resultado é o vetor amplitude de
. Essa forma também garante
e
aponta na direção de
.
Aplicando aos dados:
- Primeiro escrevo
com . - Vetor de propagação unitário:
. - Logo
Calculemos o produto vetorial termo a termo (lembrando que
e
):
Portanto
Agora substituímos
(já que o enunciado diz “vácuo”) e
:
Logo a amplitude do campo elétrico é
A expressão completa do campo elétrico no espaço e tempo (mesma fase da
) é
Observação sobre o uso de
: se alguém preferir usar estritamente os números fornecidos sem impor
, basta substituir
por
na fórmula acima; isso daria uma amplitude extremamente pequena
, e é fisicamente incompatible com “vácuo”. Por isso utilizei
para consistência física.
Passo 5
Determinar o vetor de Poynting
(parte d).
Definições e teoria curta:
- O vetor de Poynting instantâneo é
(unidade W/m^2). - Para campos harmônicos com amplitudes reais e em fase (como aqui: ambos têm o mesmo argumento de cosseno), a média temporal do vetor de Poynting é
Cálculo vetorial (faço
explicitamente):
- Recordando
e ,
escrevo.
Calculemos o produto interno:
Termos com
são nulos; usando
e
obtemos
Portanto
Instantâneo e média:
- Instantâneo:
- Valor médio temporal (sobre um ciclo):
Substituindo valores numéricos (uso
,
,
):
- Primeiro calcule
:
- Então
Resumo compacto das formas:
- Instantâneo:
- Médio (valor tipicamente pedido em física):
Resposta
(a) A onda propaga-se ao longo do eixo
no sentido positivo: direção
.
(b)
(c)
(d) Instantâneo: Valor médio:
(b)
(c)
(d) Instantâneo: