6^{\underline{\underline{a}}} Questão:
O campo magnético de uma onda eletromagnética plana se propagando no vácuo é descrito pela equação:
\mathrm{B}(\mathrm{x}, \mathrm{t})=(2 \mu \mathrm{~T})(\mathrm{j}+\sqrt{ } 3 \mathrm{k}) \cos [(6000 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) \mathrm{x}-(2000 \mathrm{rad} / \mathrm{s}) \mathrm{t}+\pi / 2].
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando? (b) Encontre o vetor de onda k e a frequência f da onda. (c) Determine a expressão do campo elétrico E desta onda. (d) Determine o vetor de Poynting S.

Passo 1

O enunciado nos dá o campo magnético de uma onda plana no vácuo:
\mathbf{B}(x,t)=(2\\ \mu\mathrm{T})\big(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\big)\cos\!\big[(6000\\ \mathrm{rad/m})\,x-(2000\\ \mathrm{rad/s})\,t+\tfrac{\pi}{2}\big].
As perguntas são:
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Encontre o vetor de onda \mathbf{k} e a frequência f.
(c) Determine o campo elétrico \mathbf{E}(x,t) desta onda.
(d) Determine o vetor de Poynting \mathbf{S}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Amplitude do campo magnético (vetor complexo de amplitude): \mathbf{B}_0=(2\\ \mu\mathrm{T})(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}). Vou chamar b=2\times10^{-6}\\ \mathrm{T}, então \mathbf{B}_0=b(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}).
  • Dependência de fase: \varphi(x,t)= (6000)\,x-(2000)\,t+\tfrac{\pi}{2}. Assim o módulo do vetor de onda (número de onda) é k=6000\\ \mathrm{rad/m} e a velocidade angular é \omega=2000\\ \mathrm{rad/s}.
  • Notação de vetores: \hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}},\hat{\mathbf{k}} são as direções x,y,z.
Observação importante (vou tratar isso claramente nos próximos passos): para uma onda eletromagnética no vácuo vale \omega = c k (com c velocidade da luz). Os valores numéricos dados fornecem \omega/k = 2000/6000 = 1/3\\ \mathrm{m/s}, que NÃO é c. Isso indica um possível erro tipográfico nos números do enunciado. Como o enunciado afirma “no vácuo”, usarei as relações corretas das ondas eletromagnéticas no vácuo (onde \omega/k=c) para obter a forma vetorial correta das grandezas; quando for útil eu também apresento os valores numéricos diretos que saem dos dados fornecidos.

Passo 2

Direção e sentido de propagação (resposta da parte a).
Raciocínio (intuitivo e direto): uma onda plana com dependência de fase \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}-\omega t se propaga na direção do vetor de onda \mathbf{k}. No enunciado a fase é (6000)\,x-(2000)\,t+\cdots, ou seja \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}=6000\,x. Portanto o vetor de onda aponta ao longo do eixo x positivo. Outra maneira: superfícies de fase constante satisfazem 6000\,x-2000\,t=\text{const}\Rightarrow x=(\omega/k)t+\text{const}, como \omega/k>0 o ponto de fase fixa desloca-se para valores maiores de x com o tempo. Conclusão:
  • A onda propaga-se ao longo do eixo x no sentido positivo; direção: \hat{\mathbf{i}} (sentido +x).

Passo 3

Vetor de onda \mathbf{k} e frequência f (parte b).
  • O vetor de onda (direção +x, módulo k=6000\\ \mathrm{rad/m}) é
\mathbf{k}=6000\\ \hat{\mathbf{i}}\quad\big(\text{unidade: rad/m}\big).
  • A frequência (ciclos por segundo) é f=\dfrac{\omega}{2\pi}. Com \omega=2000\\ \mathrm{rad/s}:
f=\frac{2000}{2\pi}=\frac{1000}{\pi}\approx 318{,}31\\ \mathrm{Hz}.
  • comprimento de onda (opcional útil):
\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{6000}=\frac{\pi}{3000}\approx 1{,}047\times10^{-3}\\ \mathrm{m}.
  • velocidade de fase obtida diretamente dos números dados:
v_{\text{phase}}=\frac{\omega}{k}=\frac{2000}{6000}=\frac{1}{3}\\ \mathrm{m/s},
o que, conforme observado, CONTRADIZ o fato de ser “no vácuo” (onde deveria dar v_{\text{phase}}=c\approx3\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}). Vou continuar usando a relação vetorial correta entre \mathbf{E} e \mathbf{B} para uma onda no vácuo (ver passo seguinte) e, quando fizer substituições numéricas, empregarei c para obter valores fisicamente consistentes; caso se queira usar estritamente \omega/k dos dados, basta substituir c por \omega/k nas fórmulas.

Passo 4

Determinar \mathbf{E}(x,t) (parte c). Explicação teórica curta e didática antes de aplicar:
  • Para uma onda plana no vácuo os campos elétrico e magnético são perpendiculares entre si e perpendiculares à direção de propagação. Em regime harmônico (mesma dependência de fase), as amplitudes vetoriais satisfazem a relação que vem das equações de Maxwell (em forma de fasores):
\mathbf{k}\times\mathbf{E}_0=\omega\,\mathbf{B}_0.
  • A partir disso pode-se achar \mathbf{E}_0. Procedimento algébrico (mostrando por que funciona): supondo \hat{\mathbf{k}}\cdot\mathbf{E}_0=0 (transversalidade), multiplica-se a relação acima por \hat{\mathbf{k}}\times(\cdot) e usa-se identidade vetorial para isolar \mathbf{E}_0; o resultado é
\mathbf{E}_0=\frac{\omega}{k}\,\mathbf{B}_0\times\hat{\mathbf{k}}.
No vácuo \dfrac{\omega}{k}=c (velocidade da luz), então a forma usual é
\boxed{\mathbf{E}_0 = c\,\mathbf{B}_0\times\hat{\mathbf{k}}.}
Isto significa: pegue \mathbf{B}_0, faça o produto vetorial com o versor de propagação, multiplique por c — o resultado é o vetor amplitude de \mathbf{E}. Essa forma também garante \mathbf{E}_0\perp\mathbf{B}_0 e \mathbf{E}_0\times\mathbf{B}_0 aponta na direção de \hat{\mathbf{k}}.
Aplicando aos dados:
  • Primeiro escrevo \mathbf{B}_0=b(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}) com b=2\times10^{-6}\\ \mathrm{T}.
  • Vetor de propagação unitário: \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}.
  • Logo
\mathbf{E}_0 = c\,b\big(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\big)\times\hat{\mathbf{i}}.
Calculemos o produto vetorial termo a termo (lembrando que \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}}=-\hat{\mathbf{k}} e \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}}):
\big(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\big)\times\hat{\mathbf{i}} = \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{i}} + \sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{i}} = -\hat{\mathbf{k}} + \sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}.
Portanto
\mathbf{E}_0 = c\,b\big(\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}} - \hat{\mathbf{k}}\big).
Agora substituímos c\approx 3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (já que o enunciado diz “vácuo”) e b=2\times10^{-6}\\ \mathrm{T}:
c\,b = (3{,}0\times10^{8})(2\times10^{-6}) = 600\\ \mathrm{V/m}.
Logo a amplitude do campo elétrico é
\mathbf{E}_0=(600\\ \mathrm{V/m})\big(\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\big).
A expressão completa do campo elétrico no espaço e tempo (mesma fase da \mathbf{B}) é
\boxed{\mathbf{E}(x,t)=(600\\ \mathrm{V/m})\big(\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\big)\cos\!\big[(6000\,x-2000\,t+\tfrac{\pi}{2})\big].}
Observação sobre o uso de \omega/k: se alguém preferir usar estritamente os números fornecidos sem impor c, basta substituir c por \omega/k=1/3\\ \mathrm{m/s} na fórmula acima; isso daria uma amplitude extremamente pequena (\omega/k)\,b=(1/3)(2\times10^{-6})\approx6{,}67\times10^{-7}\\ \mathrm{V/m}, e é fisicamente incompatible com “vácuo”. Por isso utilizei c para consistência física.

Passo 5

Determinar o vetor de Poynting \mathbf{S} (parte d).
Definições e teoria curta:
  • O vetor de Poynting instantâneo é \mathbf{S}(x,t)=\dfrac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}(x,t)\times\mathbf{B}(x,t) (unidade W/m^2).
  • Para campos harmônicos com amplitudes reais e em fase (como aqui: ambos têm o mesmo argumento de cosseno), a média temporal do vetor de Poynting é
\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{2\mu_0}\,\mathbf{E}_0\times\mathbf{B}_0.
Cálculo vetorial (faço \mathbf{E}_0\times\mathbf{B}_0 explicitamente):
  • Recordando \mathbf{B}_0=b(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}) e \mathbf{E}_0=c b(\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}),
    escrevo \mathbf{E}_0\times\mathbf{B}_0 = c b^2(\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}})\times(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}).
Calculemos o produto interno:
(\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}})\times(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}) = \sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{j}} + 3\,\hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}} - \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{j}} -\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{k}}.
Termos com \mathbf{v}\times\mathbf{v} são nulos; usando \hat{\mathbf{j}}\times\hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} e \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{j}}=-\hat{\mathbf{i}} obtemos
(\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}})\times(\hat{\mathbf{j}}+\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{k}}) = 3\,\hat{\mathbf{i}} + \hat{\mathbf{i}} = 4\,\hat{\mathbf{i}}.
Portanto
\mathbf{E}_0\times\mathbf{B}_0 = 4\,c\,b^2\,\hat{\mathbf{i}}.
Instantâneo e média:
  • Instantâneo:
\mathbf{S}(x,t)=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}_0\times\mathbf{B}_0\\ \cos^2\!\big[6000\,x-2000\,t+\tfrac{\pi}{2}\big] = \frac{4c b^2}{\mu_0}\cos^2\!\big[6000x-2000t+\tfrac{\pi}{2}\big]\,\hat{\mathbf{i}}.
  • Valor médio temporal (sobre um ciclo):
\boxed{\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{1}{2\mu_0}\,\mathbf{E}_0\times\mathbf{B}_0 = \frac{2c b^2}{\mu_0}\,\hat{\mathbf{i}}.}
Substituindo valores numéricos (uso \mu_0=4\pi\times10^{-7}\\ \mathrm{H/m}, c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}, b=2\times10^{-6}\\ \mathrm{T}):
  • Primeiro calcule 2c b^2:
2c b^2 = 2\cdot(3{,}0\times10^{8})\cdot(2\times10^{-6})^2 =2\cdot3{,}0\times10^{8}\cdot4\times10^{-12} =2{,}4\times10^{-3}.
  • Então
\langle S\rangle = \frac{2{,}4\times10^{-3}}{4\pi\times10^{-7}} \\ \hat{\mathbf{i}} \approx \frac{2{,}4\times10^{-3}}{1{,}256637\times10^{-6}}\\ \hat{\mathbf{i}} \approx 1{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2}\\ \hat{\mathbf{i}}.
Resumo compacto das formas:
  • Instantâneo:
\mathbf{S}(x,t)=\frac{4c b^2}{\mu_0}\cos^2\!\big[6000x-2000t+\tfrac{\pi}{2}\big]\,\hat{\mathbf{i}}.
  • Médio (valor tipicamente pedido em física):
\langle\mathbf{S}\rangle = \frac{2c b^2}{\mu_0}\,\hat{\mathbf{i}} \approx 1{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2}\\ \hat{\mathbf{i}}.

Resposta

(a) A onda propaga-se ao longo do eixo x no sentido positivo: direção \hat{\mathbf{i}}.
(b) \displaystyle \mathbf{k}=6000\,\hat{\mathbf{i}}\\ \text{(rad/m)},\qquad f=\dfrac{2000}{2\pi}=\dfrac{1000}{\pi}\approx318{,}31\\ \mathrm{Hz}.
(c) \displaystyle \mathbf{E}(x,t)=(600\\ \mathrm{V/m})\big(\sqrt{3}\,\hat{\mathbf{j}}-\hat{\mathbf{k}}\big)\cos\!\big[(6000\,x-2000\,t+\tfrac{\pi}{2})\big].
(d) Instantâneo: \displaystyle \mathbf{S}(x,t)=\frac{4c b^2}{\mu_0}\cos^2\!\big[6000x-2000t+\tfrac{\pi}{2}\big]\,\hat{\mathbf{i}}. Valor médio: \displaystyle \langle\mathbf{S}\rangle=\frac{2c b^2}{\mu_0}\,\hat{\mathbf{i}}\approx1{,}91\times10^{3}\\ \mathrm{W/m^2}\\ \hat{\mathbf{i}}.

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