3^{\underline{\text { a }}} Questāo:
O campo elétrico associado com uma onda eletromagnética plana é dado por \mathrm{Ez}=\mathrm{E} 0 \cos \mathrm{k}(\mathrm{y}-\mathrm{ct}), Ey =\mathrm{Ex}=0, onde \mathrm{E} 0=6 \times 10^{\wedge}-6 \mathrm{~V} / \mathrm{m} e \mathrm{k}=5 \times 10^{\wedge} 6 \mathrm{rad} / \mathrm{m}. A onda está se propagando na direção positiva do eixo y. (a) Determine a frequência angular da onda. (b) Determine a frequência em Hz e o comprimento de onda. (c) Escreva as expressões para as componentes do campo magnético da onda. (d) Em qual plano vibra o vetor campo elétrico e o vetor campo magnético?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados que peguei do enunciado:
    • O campo elétrico é \displaystyle E_z = E_0\cos\big(k(y-ct)\big).
    • \displaystyle E_x=0,\;E_y=0.
    • \displaystyle E_0 = 6\times10^{-6}\\ \mathrm{V/m}.
    • \displaystyle k = 5\times10^{6}\\ \mathrm{rad/m}.
    • A onda se propaga na direção positiva do eixo y.
    • Vou usar c=3{,}00\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} (velocidade da luz no vácuo).
  • O enunciado pede:
    (a) a frequência angular \omega;
    (b) a frequência em hertz f e o comprimento de onda \lambda;
    (c) escrever as expressões para as componentes do campo magnético;
    (d) em qual plano vibra o vetor campo elétrico e o vetor campo magnético.

Passo 2

Entendendo a forma da onda e a relação \omega=kc.
A fase da onda dada é \displaystyle k(y-ct)=ky-kct. A forma geral de uma onda harmônica que se propaga em +y pode ser escrita como \displaystyle \cos(ky-\omega t). Comparando os dois argumentos, obtemos a relação entre a frequência angular \omega e o número de onda k:
\omega = k c.
Explicação curta (didática): a quantidade k mede variação espacial (rad/m) e \omega mede variação temporal (rad/s). Para uma onda eletromagnética no vácuo a velocidade de fase é c, logo a fase espacial ky e temporal \omega t devem combinar como \omega=kc.
Agora calculo numericamente:
\omega = k\,c = \big(5\times10^{6}\big)\big(3{,}00\times10^{8}\big)=1{,}5\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 3

Frequência f e comprimento de onda \lambda.
  • Relações úteis (mini-aula):
    • A relação entre \omega e f é \displaystyle \omega = 2\pi f, portanto \displaystyle f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
    • A relação entre k e \lambda é \displaystyle k=\dfrac{2\pi}{\lambda}, portanto \displaystyle \lambda=\dfrac{2\pi}{k}.
    • Alternativamente \lambda = \dfrac{c}{f}; as duas formas são equivalentes.
Cálculo de f:
f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{1{,}5\times10^{15}}{2\pi}\approx 2{,}39\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}.
Cálculo de \lambda (uso k ou c/f; vou usar k):
\lambda=\dfrac{2\pi}{k}=\dfrac{2\pi}{5\times10^{6}}\approx 1{,}2566\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\approx 1{,}26\\ \mu\mathrm{m}.

Passo 4

Relação entre campos elétrico e magnético em uma onda eletromagnética plana no vácuo (mini-aula).
  • Em uma onda eletromagnética plana no vácuo:
    • Os vetores \mathbf{E}, \mathbf{B} e a direção de propagação \hat{k} são mutuamente perpendiculares.
    • A intensidade do campo magnético máximo B_0 está relacionada com a do campo elétrico máximo E_0 por
    B_0=\dfrac{E_0}{c}.
    • Em forma vetorial pode-se escrever \displaystyle \mathbf{B}=\dfrac{1}{c}\,\hat{k}\times\mathbf{E}, onde \hat{k} é o versor da direção de propagação.
Justificativa curta: isto vem das equações de Maxwell no vácuo para ondas planas; fisicamente, o campo magnético tem magnitude E/c e direção determinada pela regra da mão direita (produto vetorial).

Passo 5

Determinar a direção de \hat{k} e aplicar \mathbf{B}=(1/c)\,\hat{k}\times\mathbf{E}.
  • A onda se propaga em +y, então \hat{k}=\hat{\mathbf{y}}.
  • O campo elétrico está na direção z: \mathbf{E}=E_z\,\hat{\mathbf{z}}=E_0\cos\big(k(y-ct)\big)\,\hat{\mathbf{z}}.
  • Calculo do produto vetorial: \hat{\mathbf{y}}\times\hat{\mathbf{z}}=\hat{\mathbf{x}}.Logo \mathbf{B}=\dfrac{1}{c}\,\hat{\mathbf{y}}\times\mathbf{E}=\dfrac{E_0}{c}\cos\big(k(y-ct)\big)\,\hat{\mathbf{x}}.
Portanto as componentes são:
B_x=\dfrac{E_0}{c}\cos\big(k(y-ct)\big),\qquad B_y=0,\qquad B_z=0.
Agora o valor numérico da amplitude B_0:
B_0=\dfrac{E_0}{c}=\dfrac{6\times10^{-6}}{3{,}00\times10^{8}}=2{,}0\times10^{-14}\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Interpretação física e resposta sobre os planos de vibração (didática e motivação).
  • O campo elétrico tem única componente não nula ao longo de z, ou seja vibra na direção de \hat{\mathbf{z}}. Podemos dizer: o vetor \mathbf{E} vibra no eixo z (ou no plano perpendicular a y que contém z).
  • O campo magnético tem única componente não nula ao longo de x, ou seja vibra na direção de \hat{\mathbf{x}}.
  • Ambos os campos são perpendiculares entre si e também perpendiculares à direção de propagação y. Isto é característico de ondas eletromagnéticas transversas.
Força de ânimo: já está quase! Esse tipo de exercício é só aplicar as relações básicas e a regra da mão direita — você conseguiu acompanhar até aqui.

Resposta

(a) \omega = 1{,}5\times10^{15}\\ \mathrm{rad/s}
(b) f = 2{,}39\times10^{14}\\ \mathrm{Hz}
\lambda = 1{,}2566\times10^{-6}\\ \mathrm{m}\\ \\ (\approx 1{,}26\\ \mu\mathrm{m})
(c) B_x=\dfrac{E_0}{c}\cos\big(k(y-ct)\big),\quad B_y=0,\quad B_z=0
com \displaystyle B_0=\dfrac{E_0}{c}=2{,}0\times10^{-14}\\ \mathrm{T}.
(d) O campo elétrico vibra na direção \hat{\mathbf{z}} (eixo z); o campo magnético vibra na direção \hat{\mathbf{x}} (eixo x). Ambos são perpendiculares entre si e à direção de propagação \hat{\mathbf{y}}.

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