2^{\underline{\text { a }}} Questão:
Uma onda eletromagnética possui um campo magnético dado por: B(x, t)=\left(10^{\wedge}-5 \mathrm{~T}\right) \mathrm{j} \cos [(30000 \mathrm{rad} / \mathrm{m}) \mathrm{x}-\mathrm{wt}].
(a) Em que direção e sentido a onda eletromagnética está se propagando? (b) Qual é a frequência f da onda? (c) Escreva a função do vetor campo elétrico.

Passo 1

O enunciado dá o campo magnético da onda eletromagnética:
\mathbf{B}(x,t)=\bigl(10^{-5}\\ \mathrm{T}\bigr)\,\hat{\mathbf{j}}\cos\!\bigl[(30000\\ \mathrm{rad/m})\,x-\omega t\bigr].
As perguntas são:
(a) Em que direção e sentido a onda está se propagando?
(b) Qual é a frequência f da onda?
(c) Escreva a função do vetor campo elétrico \mathbf{E}(x,t).

Passo 2

Entender o sinal na fase para achar a direção de propagação.
  • A fase da onda é \varphi(x,t)=kx-\omega t com k=30000\\ \mathrm{rad/m}.
  • Mantendo a fase constante ( \varphi= constante) obtém-se
kx-\omega t=\text{const}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{\omega}{k}t+\text{const}.
  • Como \dfrac{\omega}{k}>0, o ponto de fase constante desloca-se no sentido de x crescente. Logo a onda propaga-se no sentido positivo do eixo x (ou seja, para +x).
Comentário rápido e intuitivo: formas \cos(kx-\omega t) descrevem uma frente de onda movendo-se no sentido +x; se fosse \cos(kx+\omega t) o sentido seria -x.

Passo 3

Relacionar \omega e k para um Onda Eletromagnética no vácuo e calcular \omega.
  • Para uma onda eletromagnética plana no vácuo vale a relação de dispersão
\omega = c\,k,
onde c é a velocidade da luz no vácuo. Isso vem da equação de onda (das equações de Maxwell) e significa que a velocidade de fase é c.
  • Usar c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} e k=30000\\ \mathrm{rad/m}=3{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}.
  • Logo
\omega = c\,k = \bigl(3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\bigr)\times\bigl(3{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m}\bigr) =9{,}0\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 4

Calcular a frequência f.
  • A relação entre frequência (Hz) e frequência angular é
f=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Substituindo \omega=9{,}0\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s},
f=\frac{9{,}0\times10^{12}}{2\pi}\\ \mathrm{Hz} \approx\frac{9{,}0\times10^{12}}{6{,}283185\ldots}\\ \mathrm{Hz} \approx1{,}43\times10^{12}\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Encontrar a amplitude do campo elétrico (módulo) usando a relação entre \mathbf{E} e \mathbf{B} em uma onda no vácuo.
  • Para uma onda eletromagnética plana no vácuo, as intensidades (módulos) satisfazem
E_0 = c\,B_0,
onde B_0 é a amplitude do campo magnético e E_0 a amplitude do campo elétrico. Essa relação aparece diretamente das equações de Maxwell para ondas planas em vácuo.
  • Aqui B_0=10^{-5}\\ \mathrm{T} e c=3{,}0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}. Então
E_0 = c\,B_0 = \bigl(3{,}0\times10^{8}\bigr)\times\bigl(1{,}0\times10^{-5}\bigr) =3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.

Passo 6

Determinar a direção (sentido) do campo elétrico \mathbf{E}.
  • Para ondas eletromagnéticas planas, \mathbf{E}, \mathbf{B} e o vetor de propagação (direção de \mathbf{k}) formam um sistema ortogonal de mão direita: o vetor Poynting (direção de propagação) é proporcional a \mathbf{E}\times\mathbf{B}.
  • Aqui \mathbf{k} (direção de propagação) é \hat{\mathbf{i}} (+x) e \mathbf{B} é paralelo a \hat{\mathbf{j}} (positivo em y).
  • Queremos \mathbf{E} tal que \mathbf{E}\times\mathbf{B} \hat{\mathbf{i}}. Testando direções:
    • Se \mathbf{E}=E_0\hat{\mathbf{k}} então \hat{\mathbf{k}}\times\hat{\mathbf{j}}=\!-\hat{\mathbf{i}} (produz -\hat{\mathbf{i}}), o que dá sentido contrário.
    • Se \mathbf{E}=-E_0\hat{\mathbf{k}} então (-\hat{\mathbf{k}})\times\hat{\mathbf{j}}=+\hat{\mathbf{i}}, que é o sentido correto.
  • Portanto \mathbf{E} aponta na direção negativa do eixo z (ou seja, -\hat{\mathbf{k}}).

Passo 7

Escrever a expressão completa de \mathbf{E}(x,t) usando amplitude, direção e fase.
  • Amplitude E_0=3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
  • Direção -\hat{\mathbf{k}}.
  • Mesma fase \cos(kx-\omega t) (campos \mathbf{E} e \mathbf{B} estão em fase para esta forma).
  • Logo
\mathbf{E}(x,t) = -\bigl(3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}\bigr)\,\hat{\mathbf{k}}\, \cos\!\bigl[(3{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m})\,x-(9{,}0\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s})\,t\bigr].

Resposta

(a) A onda se propaga no sentido positivo do eixo x (para +x).
(b) f=1{,}43\times10^{12}\\ \mathrm{Hz}.
(c) \displaystyle \mathbf{E}(x,t)=-\bigl(3{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}\bigr)\,\hat{\mathbf{k}}\, \cos\!\bigl[(3{,}0\times10^{4}\\ \mathrm{rad/m})\,x-(9{,}0\times10^{12}\\ \mathrm{rad/s})\,t\bigr].

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