5^{\underline{a}}. Questão 2,0 \mathrm{pt} Suponhamos que a função y=f(x) é dada implicitamente pela relação \sqrt{x}+\sqrt{y}=1. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de (1,0).

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\sqrt{x}+\sqrt{y}=1
e pede: encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de y=f(x) no ponto (1,0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A curva é definida por \sqrt{x}+\sqrt{y}=1.
  • O ponto onde queremos a tangente é (1,0).
  • O que se pede é a equação da reta tangente ao gráfico de y=f(x) nesse ponto (ou seja, a reta que toca o gráfico em (1,0) com a mesma inclinação que a curva naquele ponto).

Passo 2

Entendendo o que precisamos calcular: a equação da reta tangente exige dois dados:
  1. Um ponto conhecido da reta — aqui já temos (x_0,y_0)=(1,0).
  2. A inclinação (coeficiente angular) m da reta, que é m=y'(x_0), a derivada de y em relação a x avaliada em x_0.
Logo, precisamos encontrar y'=\dfrac{dy}{dx} a partir da relação implícita \sqrt{x}+\sqrt{y}=1. Vou obter y' por diferenciação implícita.

Passo 3

Regra que vou usar (cadeia / diferenciação implícita): se y é função de x, a derivada de \sqrt{y} em relação a x é
\frac{d}{dx}\big(\sqrt{y}\big)=\frac{d}{dy}\big(\sqrt{y}\big)\cdot\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{y}}\,y'.
Também \dfrac{d}{dx}\big(\sqrt{x}\big)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}. Agora diferencio ambos os lados de \sqrt{x}+\sqrt{y}=1 em relação a x:
Em forma de igualdade, a diferenciação dá
\frac{1}{2\sqrt{x}}+\frac{1}{2\sqrt{y}}\,y'=0.

Passo 4

Para isolar y' manipulo a equação acima de forma que não fique dividindo por \sqrt{y} sozinho (isso evita problemas aparentes no ponto onde \sqrt{y}=0). Multiplico ambos os lados por 2\sqrt{x}\sqrt{y}:
\sqrt{y}+y'\sqrt{x}=0.
Agora isolo y':
y'=-\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}.
Esta é a expressão da derivada em termos de x e y ao longo da curva.
Observação didática rápida: essa forma surge de forma simples e evita divisão direta por \sqrt{y}; além disso, é equivalente ao que se obteria derivando a forma explícita y=(1-\sqrt{x})^2 (quando isso for possível).

Passo 5

Avalio a derivada no ponto (1,0). Substituo x=1 e y=0 na expressão:
y'(1)=-\frac{\sqrt{0}}{\sqrt{1}}=-\frac{0}{1}=0.
Portanto a inclinação da tangente em (1,0) é m=0. Interpretação: a tangente é horizontal naquele ponto.

Passo 6

Agora escrevo a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_0=m(x-x_0).
Substituindo x_0=1, y_0=0 e m=0:
y-0=0\cdot(x-1)
o que simplifica para
y=0.

Resposta

y=0

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