. Questão
Suponhamos que a função
é dada implicitamente pela relação
. Encontre a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto de
.
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
e pede: encontrar a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
- A curva é definida por
. - O ponto onde queremos a tangente é
. - O que se pede é a equação da reta tangente ao gráfico de
nesse ponto (ou seja, a reta que toca o gráfico em com a mesma inclinação que a curva naquele ponto).
Passo 2
Entendendo o que precisamos calcular: a equação da reta tangente exige dois dados:
- Um ponto conhecido da reta — aqui já temos
. - A inclinação (coeficiente angular)
da reta, que é , a derivada de em relação a avaliada em .
Logo, precisamos encontrar
a partir da relação implícita
. Vou obter
por diferenciação implícita.
Passo 3
Regra que vou usar (cadeia / diferenciação implícita): se
é função de
, a derivada de
em relação a
é
Também
. Agora diferencio ambos os lados de
em relação a
:
Em forma de igualdade, a diferenciação dá
Passo 4
Para isolar
manipulo a equação acima de forma que não fique dividindo por
sozinho (isso evita problemas aparentes no ponto onde
). Multiplico ambos os lados por
:
Agora isolo
:
Esta é a expressão da derivada em termos de
e
ao longo da curva.
Observação didática rápida: essa forma surge de forma simples e evita divisão direta por
; além disso, é equivalente ao que se obteria derivando a forma explícita
(quando isso for possível).
Passo 5
Avalio a derivada no ponto
. Substituo
e
na expressão:
Portanto a inclinação da tangente em
é
. Interpretação: a tangente é horizontal naquele ponto.
Passo 6
Agora escrevo a equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
:
o que simplifica para