Derive as seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x^{2}+1} e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função f(x)=\sqrt{x^{2}+1}\,e^{-x}.
Informações dadas:
  • A função é o produto de duas funções: \sqrt{x^{2}+1} e e^{-x}.
  • A tarefa é encontrar f'(x), a derivada de f em função de x.

Passo 2

Vamos escolher um método adequado: como f é produto de duas funções, usamos a regra do produto.
Regra do produto (explicação didática): se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
( u v )' = u' v + u v'.
Aqui definimos
u(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/2},\qquad v(x)=e^{-x}.
Ou seja, primeiro vamos calcular u'(x) e v'(x) separadamente e depois aplicar a fórmula acima.

Passo 3

Derivando u(x)=\bigl(x^{2}+1\bigr)^{1/2} usando a regra da cadeia (explicação didática): se temos uma função composta h(x)=\bigl(g(x)\bigr)^{n}, então
h'(x)=n\bigl(g(x)\bigr)^{n-1}\cdot g'(x).
No nosso caso n=\tfrac{1}{2} e g(x)=x^{2}+1. Então g'(x)=2x e
u'(x)=\tfrac{1}{2}\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-1/2}\cdot 2x = x\bigl(x^{2}+1\bigr)^{-1/2}.
Escrevendo em forma mais habitual:
u'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Expliquei cada fator: \tfrac{1}{2} vem da potência, (x^{2}+1)^{-1/2} é a nova potência, e 2x é a derivada interna de x^{2}+1.

Passo 4

Derivando v(x)=e^{-x}: usar a regra para exponencial composta (explicação didática): se v(x)=e^{w(x)}, então v'(x)=w'(x)e^{w(x)}. Aqui w(x)=-x e w'(x)=-1. Logo
v'(x) = -1\cdot e^{-x} = -e^{-x}.

Passo 5

Agora aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}\,e^{-x}+\sqrt{x^{2}+1}\,(-e^{-x}).
Fatorando e^{-x} (explicação didática: é um fator comum em ambos os termos):
f'(x)=e^{-x}\left(\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-\sqrt{x^{2}+1}\right).

Passo 6

Podemos colocar em uma única fração com denominador \sqrt{x^{2}+1} para simplificar (passo a passo):
\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}-\sqrt{x^{2}+1} =\frac{x-(x^{2}+1)}{\sqrt{x^{2}+1}} =\frac{-x^{2}+x-1}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Portanto
f'(x)=e^{-x}\,\frac{-x^{2}+x-1}{\sqrt{x^{2}+1}}.
É comum também retirar o sinal negativo:
f'(x)=-e^{-x}\,\frac{x^{2}-x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}.
Ambas as formas são equivalentes; a última está mais “organizada” com o polinômio positivo.

Resposta

f'(x)=-e^{-x}\,\frac{x^{2}-x+1}{\sqrt{x^{2}+1}}

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