Derive as seguintes funções:
f(x)=\sqrt{x^{2}+1} e^{-x}
f(x)=\sqrt{x^{2}+1} e^{-x}
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é o produto de duas funções:
e . - A tarefa é encontrar
, a derivada de em função de .
Passo 2
Vamos escolher um método adequado: como
é produto de duas funções, usamos a regra do produto.
Regra do produto (explicação didática): se e
são funções diferenciáveis, então a derivada do produto é
Regra do produto (explicação didática): se
Aqui definimos
Ou seja, primeiro vamos calcular
e
separadamente e depois aplicar a fórmula acima.
Passo 3
Derivando
usando a regra da cadeia (explicação didática): se temos uma função composta
, então
No nosso caso
e
. Então
e
Escrevendo em forma mais habitual:
Expliquei cada fator:
vem da potência,
é a nova potência, e
é a derivada interna de
.
Passo 4
Derivando
: usar a regra para exponencial composta (explicação didática): se
, então
. Aqui
e
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
:
Fatorando
(explicação didática: é um fator comum em ambos os termos):
Passo 6
Podemos colocar em uma única fração com denominador
para simplificar (passo a passo):
Portanto
É comum também retirar o sinal negativo:
Ambas as formas são equivalentes; a última está mais “organizada” com o polinômio positivo.