Derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{\ln x}{x}
f(x)=\frac{\ln x}{x}
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A função está dada por
. - Pelo domínio natural de
, só faz sentido para . - A tarefa é obter
, a derivada de em termos de .
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função de uma forma que facilite aplicar regras de derivação. Vou escrever
como um produto,
Isto é apenas álgebra: dividir por
é o mesmo que multiplicar por
. Essa forma permite usar a regra do produto.
Passo 3
Apresento a regra do produto (e explico o que cada coisa significa). Se
e
são duas funções diferenciáveis, então a derivada do produto
é
Aqui:
-
é a primeira função do produto; -
é a segunda função do produto; -
é a derivada de em relação a ; -
é a derivada de em relação a .
Vou escolher
Passo 4
Calcular
. Regra usada: a derivada do logaritmo natural é
válida para
. Explicação curta: a derivada mede a taxa de variação instante; para o log natural esse valor é
. Logo
Passo 5
Calcular
. Uso a regra da potência: se
com
constante então
Aqui
, ou seja
. Aplicando a regra:
Um exemplo numérico rápido para fixar: se
então
; a fórmula é a mesma, só com outro expoente.
Passo 6
Agora aplico a regra do produto com os valores obtidos:
Substituindo
:
Calcule passo a passo os termos:
e
Somando:
Passo 7
Fatorando
para simplificar a expressão:
Voltando à escrita em fração (mais comum em provas):
Lembrete importante sobre domínio: esta expressão para
vale para
, que é o domínio original de
.
Passo 8
(Alternativa rápida — não necessária, só para verificação) Usando a regra do quociente diretamente: para
tem-se
Se
e
, então
e
. Substituindo:
o mesmo resultado — bom para checar que não houve erro.