Derive as seguintes funções:
f(x)=\frac{\ln x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\ln x}{x}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função está dada por \dfrac{\ln x}{x}.
  • Pelo domínio natural de \ln x, só faz sentido para x>0.
  • A tarefa é obter f'(x), a derivada de f em termos de x.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função de uma forma que facilite aplicar regras de derivação. Vou escrever \dfrac{\ln x}{x} como um produto,
f(x)=\ln x\cdot x^{-1}.
Isto é apenas álgebra: dividir por x é o mesmo que multiplicar por x^{-1}. Essa forma permite usar a regra do produto.

Passo 3

Apresento a regra do produto (e explico o que cada coisa significa). Se u(x) e v(x) são duas funções diferenciáveis, então a derivada do produto u(x)\,v(x) é
(u v)' = u'\,v + u\,v'.
Aqui:
  • u(x) é a primeira função do produto;
  • v(x) é a segunda função do produto;
  • u'(x) é a derivada de u em relação a x;
  • v'(x) é a derivada de v em relação a x.
Vou escolher
u(x)=\ln x,\qquad v(x)=x^{-1}.

Passo 4

Calcular u'(x). Regra usada: a derivada do logaritmo natural é
\frac{d}{dx}\bigl(\ln x\bigr)=\frac{1}{x},
válida para x>0. Explicação curta: a derivada mede a taxa de variação instante; para o log natural esse valor é 1/x. Logo
u'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Calcular v'(x). Uso a regra da potência: se g(x)=x^{n} com n constante então
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Aqui v(x)=x^{-1}, ou seja n=-1. Aplicando a regra:
v'(x) = (-1)\,x^{-2} = -x^{-2}.
Um exemplo numérico rápido para fixar: se h(x)=x^{3} então h'(x)=3x^{2}; a fórmula é a mesma, só com outro expoente.

Passo 6

Agora aplico a regra do produto com os valores obtidos:
f'(x) = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Substituindo u',u,v,v':
f'(x) = \left(\frac{1}{x}\right)\cdot x^{-1} + (\ln x)\cdot\bigl(-x^{-2}\bigr).
Calcule passo a passo os termos:
\left(\frac{1}{x}\right)\cdot x^{-1} = x^{-1}\cdot x^{-1} = x^{-2},
e
(\ln x)\cdot\bigl(-x^{-2}\bigr) = -(\ln x)\,x^{-2}.
Somando:
f'(x)=x^{-2} - (\ln x)\,x^{-2}.

Passo 7

Fatorando x^{-2} para simplificar a expressão:
f'(x)=x^{-2}\bigl(1-\ln x\bigr).
Voltando à escrita em fração (mais comum em provas):
f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^{2}}.
Lembrete importante sobre domínio: esta expressão para f'(x) vale para x>0, que é o domínio original de f.

Passo 8

(Alternativa rápida — não necessária, só para verificação) Usando a regra do quociente diretamente: para f(x)=\dfrac{g(x)}{h(x)} tem-se
f'(x)=\frac{g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h(x)^2}.
Se g(x)=\ln x e h(x)=x, então g'(x)=1/x e h'(x)=1. Substituindo:
f'(x)=\frac{(1/x)\cdot x - (\ln x)\cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln x}{x^{2}},
o mesmo resultado — bom para checar que não houve erro.

Resposta

\displaystyle \frac{1-\ln x}{x^{2}}

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