Questão (3,0 pontos)
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico produzido por uma carga pontual em repouso através de uma superficie esférica de raio
que envolve a carga situada na origem. (b) Aplique o teorema de Gauss para o cálculo. (c) Seja o campo vetorial
. Calcule o fluxo
onde
é uma esfera de raio
. (d) Prove as seguintes identidades:
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico produzido por uma carga pontual em repouso através de uma superficie esférica de raio
Passo 1
Vou listar com calma o que o enunciado pede e os dados que nos dão, para não nos perdermos.
-
Pedidos do enunciado:
(a) Calcular o fluxo do campo elétrico produzido por uma carga pontual em repouso através de uma superfície esférica de raioque envolve a carga situada na origem.
(b) Aplicar o teorema de Gauss para o cálculo do item (a).
(c) Seja o campo vetorial. Calcular o fluxo onde é a esfera de raio centrada na origem.
(d) Provar as seguintes identidades (o enunciado não trouxe as identidades; por isso vou explicar no final o que falta). -
Dados fornecidos explicitamente:
- Para (a) e (b): há uma carga pontual
localizada na origem; a superfície é uma esfera de raio que envolve a carga. - Para (c): o campo vetorial
está dado; a superfície é a esfera de raio centrada na origem.
- Para (a) e (b): há uma carga pontual
Observação importante: o item (d) não especificou quais identidades devem ser provadas. Portanto não há como executar (d) até que essas identidades sejam fornecidas.
Passo 2
Conceitos básicos e preparação para (a): o que é fluxo, como se calcula numa esfera e qual é o campo elétrico de uma carga pontual.
- Definição de fluxo: o fluxo de um campo vetorial
através de uma superfície orientada com normal unitário é
Isto significa que, para cada ponto da superfície, projetamos o vetor
na direção normal e somamos (integramos) isso sobre toda a área.
- Campo elétrico de uma carga pontual
em repouso na origem (lei de Coulomb, sistema SI):
onde
e
é o versor radial.
- Para a esfera de raio
centrada na origem, a normal externa unitária em cada ponto é e o módulo de sobre a superfície (pois constante) é
Então o produto escalar
sobre a superfície é
(Usei que
e que o campo é radial.)
- O elemento de área da esfera é
e a área total da esfera é .
Passo 3
Cálculo explícito do fluxo para (a) usando integração direta (fazendo a conta passo a passo).
- Escrevendo a integral do fluxo:
Como
é constante sobre a esfera (porque depende só de
), podemos tirar da integral:
- A integral da área é a área total da esfera:
- Substituindo:
Comentário didático: esse resultado é bem intuitivo — para uma carga puntual, o fluxo através de qualquer superfície fechada que envolva a carga é sempre
, independente do raio ou da forma (desde que envolva a carga). No caso da esfera a simetria facilita muito porque
é radial e tem módulo constante sobre a esfera.
Passo 4
Explicando e aplicando o teorema de Gauss (item (b)) — aula curta e aplicação.
- Enunciado do teorema de Gauss (teorema da divergência): para um campo vetorial suficientemente suave
numa região com fronteira fechada orientada externamente,
Isto transforma uma integral de superfície em uma integral de volume da divergência.
- Aplicação ao campo elétrico de uma carga pontual: se tentarmos aplicar diretamente com
sendo a bola de raio contendo a origem, há um problema técnico: não é suave na origem (tem singularidade). Para contornar isso de forma elementar fazemos o truque padrão: - Considere o volume entre duas esferas concêntricas: a bola de raio
e uma bola pequena de raio centrada na origem; chame a região anelar de . Nessa região é suave, então a divergência é bem definida e o teorema pode ser aplicado. - Aplicando o teorema em
:
(Sinal negativo aparece porque a superfície interna tem normal externa ao volume , que aponta para dentro da esfera pequena.)
3. Paraa divergência do campo de Coulomb é zero: em . Logo o lado direito é zero e - Mas para a esfera pequena
podemos usar o cálculo direto (como no Passo 3): o fluxo através de é , independentemente de . Portanto o fluxo através de é igual ao mesmo valor. Tomando o limite formaliza que toda a contribuição ao fluxo provém da singularidade na origem.
- Considere o volume entre duas esferas concêntricas: a bola de raio
- Conclusão (Gauss): o uso consistente do teorema de Gauss com o tratamento da singularidade mostra que o fluxo através da superfície fechada que envolve a carga é
Comentário didático curto: uma maneira mais concisa e moderna é dizer que
(distribuição delta de Dirac), e ao integrar a divergência sobre a bola obtém-se
. Mas o truque da esfera pequena dá a mesma conclusão sem usar teoria de distribuições.
Passo 5
Preparação para (c): usar o teorema da divergência para calcular o fluxo de
através da esfera de raio
.
- Campo dado:
- Cálculo da divergência
(explicando cada termo): a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
Calculemos termo a termo:
Logo
Passo 6
Cálculo do fluxo em (c) aplicando o teorema da divergência e usando simetria.
- Pelo teorema da divergência:
onde
é a bola de raio
centrada na origem.
- Substituindo a divergência:
- Separando a integral:
- Agora usamos simetria do domínio
(bola centrada na origem): para cada ponto no volume existe o ponto também no volume; assim a função é ímpar em relação ao plano e sua integral sobre a bola é zero. O mesmo vale para . Portanto
- Resta apenas a integral do termo constante:
- Conclusão para (c):
Passo 7
Observações finais e resposta do item (d) — por que não posso completar (d).
- O item (d) do enunciado pede para provar certas identidades, mas o enunciado que recebi não listou quais são essas identidades. Sem saber quais identidades precisa-se provar, não há como escrever a prova. Portanto, para (d) é necessário que o enunciado completo (com as identidades listadas) seja fornecido.
Resposta
(a)
(b) Usando o teorema de Gauss (com o tratamento da singularidade na origem) obtém-se
(c)
(d) Não é possível resolver: as identidades a serem provadas não foram fornecidas no enunciado.