1{ }^{\underline{0}} Questão (3,0 pontos)
(a) Calcule o fluxo do campo elétrico produzido por uma carga pontual em repouso através de uma superficie esférica de raio \boldsymbol{R} que envolve a carga situada na origem. (b) Aplique o teorema de Gauss para o cálculo. (c) Seja o campo vetorial \vec{F}=2 x_{1} \hat{i}_{1}+x_{2}{ }^{2} \hat{i}_{2}+x_{3}{ }^{2} \hat{i}_{3}. Calcule o fluxo \quad \S \vec{F} \cdot \hat{n} d S§ onde \boldsymbol{S} é uma esfera de raio \boldsymbol{a}. (d) Prove as seguintes identidades:

Passo 1

Vou listar com calma o que o enunciado pede e os dados que nos dão, para não nos perdermos.
  • Pedidos do enunciado:
    (a) Calcular o fluxo do campo elétrico produzido por uma carga pontual em repouso através de uma superfície esférica de raio R que envolve a carga situada na origem.
    (b) Aplicar o teorema de Gauss para o cálculo do item (a).
    (c) Seja o campo vetorial \vec{F}=2 x_{1} \hat{i}_{1}+x_{2}^{2} \hat{i}_{2}+x_{3}^{2} \hat{i}_{3}. Calcular o fluxo \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS onde S é a esfera de raio a centrada na origem.
    (d) Provar as seguintes identidades (o enunciado não trouxe as identidades; por isso vou explicar no final o que falta).
  • Dados fornecidos explicitamente:
    • Para (a) e (b): há uma carga pontual q localizada na origem; a superfície é uma esfera de raio R que envolve a carga.
    • Para (c): o campo vetorial \vec{F} está dado; a superfície S é a esfera de raio a centrada na origem.
Observação importante: o item (d) não especificou quais identidades devem ser provadas. Portanto não há como executar (d) até que essas identidades sejam fornecidas.

Passo 2

Conceitos básicos e preparação para (a): o que é fluxo, como se calcula numa esfera e qual é o campo elétrico de uma carga pontual.
  • Definição de fluxo: o fluxo de um campo vetorial \vec{G} através de uma superfície S orientada com normal unitário \hat{n} é
\Phi=\iint_{S}\vec{G}\cdot\hat{n}\,dS.
Isto significa que, para cada ponto da superfície, projetamos o vetor \vec{G} na direção normal e somamos (integramos) isso sobre toda a área.
  • Campo elétrico de uma carga pontual q em repouso na origem (lei de Coulomb, sistema SI):
\vec{E}(\vec{r})=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r^{2}}\hat{r},
onde r=\|\vec{r}\| e \hat{r}=\vec{r}/r é o versor radial.
  • Para a esfera de raio R centrada na origem, a normal externa unitária em cada ponto é \hat{n}=\hat{r} e o módulo de \vec{E} sobre a superfície (pois r=R constante) é
\|\vec{E}\|=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{|q|}{R^{2}}.
Então o produto escalar \vec{E}\cdot\hat{n} sobre a superfície é
\vec{E}\cdot\hat{n}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R^{2}}.
(Usei que \hat{n}=\hat{r} e que o campo é radial.)
  • O elemento de área da esfera é dS=R^{2}\sin\theta\,d\theta\,d\varphi e a área total da esfera é 4\pi R^{2}.

Passo 3

Cálculo explícito do fluxo para (a) usando integração direta (fazendo a conta passo a passo).
  • Escrevendo a integral do fluxo:
\Phi=\iint_{S}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS.
Como \vec{E}\cdot\hat{n} é constante sobre a esfera (porque depende só de R), podemos tirar da integral:
\Phi=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R^{2}}\right)\iint_{S}dS.
  • A integral da área é a área total da esfera:
\iint_{S}dS = 4\pi R^{2}.
  • Substituindo:
\Phi=\left(\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{R^{2}}\right)\cdot 4\pi R^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.
Comentário didático: esse resultado é bem intuitivo — para uma carga puntual, o fluxo através de qualquer superfície fechada que envolva a carga é sempre q/\varepsilon_{0}, independente do raio ou da forma (desde que envolva a carga). No caso da esfera a simetria facilita muito porque \vec{E} é radial e tem módulo constante sobre a esfera.

Passo 4

Explicando e aplicando o teorema de Gauss (item (b)) — aula curta e aplicação.
  • Enunciado do teorema de Gauss (teorema da divergência): para um campo vetorial suficientemente suave \vec{G} numa região V com fronteira fechada \partial V orientada externamente,
\iint_{\partial V}\vec{G}\cdot\hat{n}\,dS=\iiint_{V}\nabla\cdot\vec{G}\,dV.
Isto transforma uma integral de superfície em uma integral de volume da divergência.
  • Aplicação ao campo elétrico de uma carga pontual: se tentarmos aplicar diretamente com V sendo a bola de raio R contendo a origem, há um problema técnico: \vec{E} não é suave na origem (tem singularidade). Para contornar isso de forma elementar fazemos o truque padrão:
    1. Considere o volume entre duas esferas concêntricas: a bola de raio R e uma bola pequena de raio \varepsilon centrada na origem; chame a região anelar de V_{\varepsilon}= \{\varepsilon< r < R\}. Nessa região \vec{E} é suave, então a divergência é bem definida e o teorema pode ser aplicado.
    2. Aplicando o teorema em V_{\varepsilon}:
    \iint_{S_{R}}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS - \iint_{S_{\varepsilon}}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS = \iiint_{V_{\varepsilon}}\nabla\cdot\vec{E}\,dV.(Sinal negativo aparece porque a superfície interna S_{\varepsilon} tem normal externa ao volume V_{\varepsilon}, que aponta para dentro da esfera pequena.)
    3. Para r\neq 0 a divergência do campo de Coulomb é zero: \nabla\cdot\vec{E}=0 em V_{\varepsilon}. Logo o lado direito é zero e \iint_{S_{R}}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS = \iint_{S_{\varepsilon}}\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS.
    1. Mas para a esfera pequena S_{\varepsilon} podemos usar o cálculo direto (como no Passo 3): o fluxo através de S_{\varepsilon} é \dfrac{q}{\varepsilon_{0}}, independentemente de \varepsilon. Portanto o fluxo através de S_{R} é igual ao mesmo valor. Tomando o limite \varepsilon\to 0 formaliza que toda a contribuição ao fluxo provém da singularidade na origem.
  • Conclusão (Gauss): o uso consistente do teorema de Gauss com o tratamento da singularidade mostra que o fluxo através da superfície fechada que envolve a carga é
\Phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}.
Comentário didático curto: uma maneira mais concisa e moderna é dizer que \nabla\cdot\vec{E}=\dfrac{q}{\varepsilon_{0}}\delta(\vec{r}) (distribuição delta de Dirac), e ao integrar a divergência sobre a bola obtém-se q/\varepsilon_{0}. Mas o truque da esfera pequena dá a mesma conclusão sem usar teoria de distribuições.

Passo 5

Preparação para (c): usar o teorema da divergência para calcular o fluxo de \vec{F} através da esfera de raio a.
  • Campo dado:
\vec{F}(x_{1},x_{2},x_{3})=2x_{1}\,\hat{i}_{1}+x_{2}^{2}\,\hat{i}_{2}+x_{3}^{2}\,\hat{i}_{3}.
  • Cálculo da divergência \nabla\cdot\vec{F} (explicando cada termo): a divergência é a soma das derivadas parciais das componentes correspondentes:
\nabla\cdot\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x_{1}}(2x_{1})+\frac{\partial}{\partial x_{2}}(x_{2}^{2})+\frac{\partial}{\partial x_{3}}(x_{3}^{2}).
Calculemos termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x_{1}}(2x_{1}) = 2, \qquad \frac{\partial}{\partial x_{2}}(x_{2}^{2}) = 2x_{2}, \qquad \frac{\partial}{\partial x_{3}}(x_{3}^{2}) = 2x_{3}.
Logo
\nabla\cdot\vec{F}=2+2x_{2}+2x_{3}.

Passo 6

Cálculo do fluxo em (c) aplicando o teorema da divergência e usando simetria.
  • Pelo teorema da divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = \iiint_{V} \nabla\cdot\vec{F}\,dV,
onde V é a bola de raio a centrada na origem.
  • Substituindo a divergência:
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = \iiint_{V} \big(2+2x_{2}+2x_{3}\big)\,dV.
  • Separando a integral:
\iiint_{V} \big(2+2x_{2}+2x_{3}\big)\,dV = 2\iiint_{V} dV + 2\iiint_{V} x_{2}\,dV + 2\iiint_{V} x_{3}\,dV.
  • Agora usamos simetria do domínio V (bola centrada na origem): para cada ponto (x_{1},x_{2},x_{3}) no volume existe o ponto (x_{1},-x_{2},x_{3}) também no volume; assim a função x_{2} é ímpar em relação ao plano x_{2}=0 e sua integral sobre a bola é zero. O mesmo vale para x_{3}. Portanto
\iiint_{V} x_{2}\,dV = 0,\qquad \iiint_{V} x_{3}\,dV = 0.
  • Resta apenas a integral do termo constante:
2\iiint_{V} dV = 2\cdot \text{Vol}(V) = 2\cdot \frac{4}{3}\pi a^{3} = \frac{8}{3}\pi a^{3}.
  • Conclusão para (c):
\iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS = \frac{8}{3}\pi a^{3}.

Passo 7

Observações finais e resposta do item (d) — por que não posso completar (d).
  • O item (d) do enunciado pede para provar certas identidades, mas o enunciado que recebi não listou quais são essas identidades. Sem saber quais identidades precisa-se provar, não há como escrever a prova. Portanto, para (d) é necessário que o enunciado completo (com as identidades listadas) seja fornecido.

Resposta

(a) \displaystyle \Phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}
(b) Usando o teorema de Gauss (com o tratamento da singularidade na origem) obtém-se \displaystyle \Phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}
(c) \displaystyle \iint_{S}\vec{F}\cdot\hat{n}\,dS=\frac{8}{3}\pi a^{3}
(d) Não é possível resolver: as identidades a serem provadas não foram fornecidas no enunciado.

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