\underline{2} a Questão (0,7 pontos)
Um bloco de 5 kg está em repouso sobre uma mola que está disposta na vertical. A mola é comprimida de 8 cm pelo peso do bloco.
a) Qual é a constante elástica da mola?
b) Qual é a energia potencial elástica da mola comprimida?
d) A pedra é empurrada mais 10 cm para baixo e liberada do repouso. Qual é a altura máxima atingida pelo bloco, medida a partir do ponto onde ele foi liberado?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Massa do bloco: m=5\\ \text{kg}.
  • A mola, disposta verticalmente, fica comprimida 8\\ \text{cm} pelo peso do bloco em repouso. Ou seja, compressão de equilíbrio x_0=0{,}08\\ \text{m}.
  • Em seguida o bloco é empurrado mais 10\\ \text{cm} para baixo a partir desse ponto de equilíbrio e liberado do repouso. Esse deslocamento adicional é a=0{,}10\\ \text{m}.
Perguntas:
(a) Qual é a constante elástica da mola k?
(b) Qual é a energia potencial elástica da mola comprimida (na compressão de 8\\ \text{cm})?
(d) Após empurrar mais 10\\ \text{cm} e liberar do repouso, qual é a altura máxima atingida pelo bloco, medida a partir do ponto onde ele foi liberado? (ou seja: quanto ele sobe, em relação ao ponto de liberação)
Observação: vou usar g=9{,}8\\ \text{m/s}^2 para a aceleração da gravidade.

Passo 2

Encontrando a constante elástica k (parte a).
Raciocínio físico e fórmula usada:
  • Quando o bloco está em repouso na posição de equilíbrio, as forças verticais se equilibram: a força elástica da mola para cima iguala o peso para baixo.
  • Força elástica da mola (Lei de Hooke): F_{\text{mola}} = k x, onde k é a constante elástica (unidade \text{N/m}) e x é a compressão (em metros).
  • Peso do bloco: P = m g.
  • No equilíbrio: k x_0 = m g. Dessa equação podemos isolar k:
k = \frac{m g}{x_0}.
Substituindo os valores (tudo em unidades SI):
k = \frac{5\cdot 9{,}8}{0{,}08}.
Cálculo passo a passo:
  • 5\cdot 9{,}8 = 49.
  • \dfrac{49}{0{,}08} = 49 \div 0{,}08 = 612{,}5.
Portanto
k = 612{,}5\\ \text{N/m}.

Passo 3

Energia potencial elástica da mola comprimida 8\\ \text{cm} (parte b).
Fórmula e conceito:
  • Energia potencial elástica armazenada numa mola comprimida ou esticada por x é
U_{\text{el}}=\tfrac{1}{2}k x^2,
onde k é a constante da mola e x a compressão/elongação.
Usando k=612{,}5\\ \text{N/m} e x_0=0{,}08\\ \text{m}:
U_{\text{el}}=\tfrac{1}{2}\cdot 612{,}5\cdot (0{,}08)^2.
Cálculo passo a passo:
  • (0{,}08)^2=0{,}0064.
  • 612{,}5\cdot 0{,}0064 = 3{,}92.
  • \tfrac{1}{2}\cdot 3{,}92 = 1{,}96.
Portanto
U_{\text{el}}=1{,}96\\ \text{J}.
Observação útil (checagem): o trabalho do peso ao comprimir até equilíbrio é m g x_0 = 49\cdot 0{,}08 = 3{,}92\\ \text{J}; metade disso aparece como energia elástica, coerente com U_{\text{el}}=\tfrac{1}{2}k x_0^2.

Passo 4

Preparando a análise do movimento após empurrar mais 10\\ \text{cm} (parte d): escolha de sinais e equação de conservação de energia.
Definições e convenções:
  • Vou medir alturas positivas para cima.
  • Chamo de x a compressão da mola medida a partir do comprimento natural da mola (ou seja, x>0 significa mola comprimida).
  • Posição de equilíbrio: x_0=0{,}08\\ \text{m}.
  • Ponto de liberação: empurrada mais a=0{,}10\\ \text{m} para baixo a partir do equilíbrio, então a compressão inicial (no instante da liberação) é
x_i = x_0 + a = 0{,}08 + 0{,}10 = 0{,}18\\ \text{m}.
  • Seja h a altura máxima atingida medida a partir do ponto onde o bloco foi liberado (essa é exatamente a quantidade pedida). Subir uma altura h corresponde a reduzir a compressão da mola em h. Assim a compressão na altura máxima será
x_f = x_i - h.
Energia e conservação:
  • No ponto de liberação (inicial): velocidade nula, então energia mecânica inicial é apenas energia elástica da mola:
E_i = \tfrac{1}{2}k x_i^2.
  • No ponto mais alto (final): a velocidade é zero novamente, então energia mecânica final é soma da energia elástica da mola (com compressão x_f) mais a energia potencial gravitacional associada a ter subido h (sabendo que escolhemos a energia gravitacional zero no ponto de liberação):
E_f = \tfrac{1}{2}k x_f^2 + m g h.
  • Conservação de energia mecânica (sem atrito, sem perdas):
E_i = E_f \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}k x_i^2 = \tfrac{1}{2}k (x_i-h)^2 + m g h.

Passo 5

Resolvendo a equação para h.
Começo expandindo a expressão:
\tfrac{1}{2}k x_i^2 = \tfrac{1}{2}k (x_i^2 - 2 x_i h + h^2) + m g h.
Simplifico subtraindo \tfrac{1}{2}k x_i^2 dos dois lados:
0 = \tfrac{1}{2}k (-2 x_i h + h^2) + m g h.
Organizo os termos:
0 = -k x_i h + \tfrac{1}{2}k h^2 + m g h.
Como buscamos a solução com h\neq 0 (subida não nula), podemos dividir ambos os lados por h:
0 = -k x_i + \tfrac{1}{2}k h + m g.
Isolando h:
\tfrac{1}{2}k h = k x_i - m g \quad\Rightarrow\quad h = \frac{2}{k}\big(k x_i - m g\big).
Agora uso a relação de equilíbrio m g = k x_0 (vista no Passo 2). Substituindo m g = k x_0:
h = \frac{2}{k}\big(k x_i - k x_0\big) = 2(x_i - x_0).
Mas x_i - x_0 é justamente o deslocamento adicional a=0{,}10\\ \text{m}. Logo
h = 2 a = 2\cdot 0{,}10 = 0{,}20\\ \text{m}.
Interpretação física rápida: ao soltar a partir de a abaixo do equilíbrio, o bloco sobe uma altura 2a acima do ponto de liberação (isso acontece porque parte da energia armazenada vai para vencer a gravidade e parte volta a energia elástica). Aqui o resultado dá h=0{,}20\\ \text{m}, ou seja 20\\ \text{cm}.
Observação sobre a compressão na altura máxima:
  • A compressão final é x_f = x_i - h = 0{,}18 - 0{,}20 = -0{,}02\\ \text{m}. O sinal negativo indica que a mola ficou esticada 2\\ \text{cm} além do seu comprimento natural no ponto mais alto — isso é fisicamente possível se não houver limite mecânico que impeça a extensão pequena.

Resposta

(a) k=612{,}5\\ \text{N/m}
(b) U_{\text{el}}=1{,}96\\ \text{J}
(d) h=0{,}20\\ \text{m}

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