a Questão (0,7 pontos)
Um bloco de 5 kg está em repouso sobre uma mola que está disposta na vertical. A mola é comprimida de 8 cm pelo peso do bloco.
a) Qual é a constante elástica da mola?
b) Qual é a energia potencial elástica da mola comprimida?
d) A pedra é empurrada mais 10 cm para baixo e liberada do repouso. Qual é a altura máxima atingida pelo bloco, medida a partir do ponto onde ele foi liberado?
Um bloco de 5 kg está em repouso sobre uma mola que está disposta na vertical. A mola é comprimida de 8 cm pelo peso do bloco.
a) Qual é a constante elástica da mola?
b) Qual é a energia potencial elástica da mola comprimida?
d) A pedra é empurrada mais 10 cm para baixo e liberada do repouso. Qual é a altura máxima atingida pelo bloco, medida a partir do ponto onde ele foi liberado?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Massa do bloco:
. - A mola, disposta verticalmente, fica comprimida
pelo peso do bloco em repouso. Ou seja, compressão de equilíbrio . - Em seguida o bloco é empurrado mais
para baixo a partir desse ponto de equilíbrio e liberado do repouso. Esse deslocamento adicional é .
Perguntas:
(a) Qual é a constante elástica da mola ?
(b) Qual é a energia potencial elástica da mola comprimida (na compressão de )?
(d) Após empurrar mais e liberar do repouso, qual é a altura máxima atingida pelo bloco, medida a partir do ponto onde ele foi liberado? (ou seja: quanto ele sobe, em relação ao ponto de liberação)
(a) Qual é a constante elástica da mola
(b) Qual é a energia potencial elástica da mola comprimida (na compressão de
(d) Após empurrar mais
Observação: vou usar
para a aceleração da gravidade.
Passo 2
Encontrando a constante elástica
(parte a).
Raciocínio físico e fórmula usada:
- Quando o bloco está em repouso na posição de equilíbrio, as forças verticais se equilibram: a força elástica da mola para cima iguala o peso para baixo.
- Força elástica da mola (Lei de Hooke):
, onde é a constante elástica (unidade ) e é a compressão (em metros). - Peso do bloco:
. - No equilíbrio:
. Dessa equação podemos isolar :
Substituindo os valores (tudo em unidades SI):
Cálculo passo a passo:
-
. -
.
Portanto
Passo 3
Energia potencial elástica da mola comprimida
(parte b).
Fórmula e conceito:
- Energia potencial elástica armazenada numa mola comprimida ou esticada por
é
onde
é a constante da mola e
a compressão/elongação.
Usando
e
:
Cálculo passo a passo:
-
. -
. -
.
Portanto
Observação útil (checagem): o trabalho do peso ao comprimir até equilíbrio é
; metade disso aparece como energia elástica, coerente com
.
Passo 4
Preparando a análise do movimento após empurrar mais
(parte d): escolha de sinais e equação de conservação de energia.
Definições e convenções:
- Vou medir alturas positivas para cima.
- Chamo de
a compressão da mola medida a partir do comprimento natural da mola (ou seja, significa mola comprimida). - Posição de equilíbrio:
. - Ponto de liberação: empurrada mais
para baixo a partir do equilíbrio, então a compressão inicial (no instante da liberação) é
- Seja
a altura máxima atingida medida a partir do ponto onde o bloco foi liberado (essa é exatamente a quantidade pedida). Subir uma altura corresponde a reduzir a compressão da mola em . Assim a compressão na altura máxima será
Energia e conservação:
- No ponto de liberação (inicial): velocidade nula, então energia mecânica inicial é apenas energia elástica da mola:
- No ponto mais alto (final): a velocidade é zero novamente, então energia mecânica final é soma da energia elástica da mola (com compressão
) mais a energia potencial gravitacional associada a ter subido (sabendo que escolhemos a energia gravitacional zero no ponto de liberação):
- Conservação de energia mecânica (sem atrito, sem perdas):
Passo 5
Resolvendo a equação para
.
Começo expandindo a expressão:
Simplifico subtraindo
dos dois lados:
Organizo os termos:
Como buscamos a solução com
(subida não nula), podemos dividir ambos os lados por
:
Isolando
:
Agora uso a relação de equilíbrio
(vista no Passo 2). Substituindo
:
Mas
é justamente o deslocamento adicional
. Logo
Interpretação física rápida: ao soltar a partir de
abaixo do equilíbrio, o bloco sobe uma altura
acima do ponto de liberação (isso acontece porque parte da energia armazenada vai para vencer a gravidade e parte volta a energia elástica). Aqui o resultado dá
, ou seja
.
Observação sobre a compressão na altura máxima:
- A compressão final é
. O sinal negativo indica que a mola ficou esticada além do seu comprimento natural no ponto mais alto — isso é fisicamente possível se não houver limite mecânico que impeça a extensão pequena.
Resposta
(a)
(b)
(d)