A questão 6 é aberta. JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUAS RESPOSTAS. Derive:
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função
. A função dada é
O objetivo claro: encontrar
(a derivada de
em função de
), e indicar o domínio onde a derivada faz sentido (ou seja, onde a expressão está definida).
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos uma razão (uma fração) cuja numerador e denominador são funções de
. O método padrão é a regra do quociente. Vou apresentar a regra e explicar por que ela vale:
- Seja
o numerador e o denominador, com . - A regra do quociente diz que
O raciocínio por trás: é uma fórmula que combina a linearidade da derivada com a regra do produto aplicada a
e usando a regra da cadeia para
. Aqui é aplicável porque
e
são funções polinomiais (deriváveis em todo lugar) e a fórmula exige apenas
.
Passo 3
Identificamos as partes:
Agora precisamos das derivadas simples de
e
. Lembrete rápido: a derivada de
é
; a derivada de
é
.
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Passo 4
Aplicando a regra do quociente:
Aqui substituímos diretamente
na fórmula; é uma escrita intermediária com tudo explícito.
Passo 5
Agora vamos simplificar o numerador passo a passo, desenvolvendo cada produto:
- Primeiro produto:
- Segundo produto:
Subtraindo segundo do primeiro:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 6
Substituindo essa simplificação de volta na expressão para
obtemos a forma final simplificada:
Observação sobre domínio: a derivada está bem definida sempre que o denominador original for não nulo, isto é, para
tais que
. Portanto
está definida para
.