A questão 6 é aberta. JUSTIFIQUE CLARAMENTE SUAS RESPOSTAS. Derive:
(c) p(x)=\frac{2 x+1}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função p. A função dada é
p(x)=\frac{2x+1}{x^{3}-1}.
O objetivo claro: encontrar p'(x) (a derivada de p em função de x), e indicar o domínio onde a derivada faz sentido (ou seja, onde a expressão está definida).

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos uma razão (uma fração) cuja numerador e denominador são funções de x. O método padrão é a regra do quociente. Vou apresentar a regra e explicar por que ela vale:
  • Seja u(x) o numerador e v(x) o denominador, com v(x)\neq 0.
  • A regra do quociente diz que
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right) = \frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}}.
O raciocínio por trás: é uma fórmula que combina a linearidade da derivada com a regra do produto aplicada a u(x)\cdot (v(x))^{-1} e usando a regra da cadeia para (v(x))^{-1}. Aqui é aplicável porque u(x) e v(x) são funções polinomiais (deriváveis em todo lugar) e a fórmula exige apenas v(x)\neq 0.

Passo 3

Identificamos as partes:
u(x)=2x+1,\qquad v(x)=x^{3}-1.
Agora precisamos das derivadas simples de u e v. Lembrete rápido: a derivada de ax+b é a; a derivada de x^{n} é n x^{n-1}.
  • Derivada de u(x)=2x+1:
u'(x)=2.
  • Derivada de v(x)=x^{3}-1:
v'(x)=3x^{2}.

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
p'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{(v(x))^{2}} =\frac{2\,(x^{3}-1)-(2x+1)\,(3x^{2})}{(x^{3}-1)^{2}}.
Aqui substituímos diretamente u,u',v,v' na fórmula; é uma escrita intermediária com tudo explícito.

Passo 5

Agora vamos simplificar o numerador passo a passo, desenvolvendo cada produto:
  • Primeiro produto: 2\,(x^{3}-1)=2x^{3}-2.
  • Segundo produto: (2x+1)\,(3x^{2})=6x^{3}+3x^{2}.
    Subtraindo segundo do primeiro:
2x^{3}-2-(6x^{3}+3x^{2})=2x^{3}-2-6x^{3}-3x^{2}.
Agrupando termos semelhantes:
2x^{3}-6x^{3}-3x^{2}-2 = -4x^{3}-3x^{2}-2.

Passo 6

Substituindo essa simplificação de volta na expressão para p'(x) obtemos a forma final simplificada:
p'(x)=\frac{-4x^{3}-3x^{2}-2}{(x^{3}-1)^{2}} = -\frac{4x^{3}+3x^{2}+2}{(x^{3}-1)^{2}}.
Observação sobre domínio: a derivada está bem definida sempre que o denominador original for não nulo, isto é, para x tais que x^{3}-1\neq 0. Portanto p'(x) está definida para x\neq 1.

Resposta

p'(x)=-\frac{4x^{3}+3x^{2}+2}{(x^{3}-1)^{2}},\quad x\neq 1

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