. Questão. (4,0 pontos) Calcule:
.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral definida
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - O intervalo de integração é
. - Os pontos onde o denominador seria zero são
e , que NÃO pertencem ao intervalo . Portanto a integranda é contínua em e a integral própria está bem definida.
Passo 2
Plano de ataque (breve e prático): para integrar uma fração racional cuja parte inteira do numerador tem grau menor que a do denominador e com fatores lineares no denominador, a técnica mais direta é decompor em frações parciais do tipo
. Isso transforma a integral em somas de integrais simples do tipo
, que são logaritmos. Agora começamos a decomposição.
Passo 3
Escrevemos a decomposição em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade polinomial
Para encontrar
e
é prático avaliar em
e
.
Passo 4
Avaliação em pontos convenientes:
- Para
:
logo
.
- Para
:
logo
.
Passo 5
Com
e
reescrevemos a integranda:
Verificação rápida: somando os numeradores obtém-se
, ok.
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Lembrete útil: a primitiva de
é
, pois
. Assim,
Portanto uma primitiva para a som a é
Passo 7
Avaliação da integral definida de
a
:
Como
e
no intervalo, podemos tirar as barras:
Passo 8
Simplificar os termos: