3^{\underline{a}}. Questão. (4,0 pontos) Calcule:
\int_{0}^{1} \frac{3 x+5}{(x+1)(x+2)} d x.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral definida
\int_{0}^{1} \frac{3x+5}{(x+1)(x+2)}\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é \dfrac{3x+5}{(x+1)(x+2)}.
  • O intervalo de integração é [0,1].
  • Os pontos onde o denominador seria zero são x=-1 e x=-2, que NÃO pertencem ao intervalo [0,1]. Portanto a integranda é contínua em [0,1] e a integral própria está bem definida.

Passo 2

Plano de ataque (breve e prático): para integrar uma fração racional cuja parte inteira do numerador tem grau menor que a do denominador e com fatores lineares no denominador, a técnica mais direta é decompor em frações parciais do tipo \dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x+2}. Isso transforma a integral em somas de integrais simples do tipo \int \dfrac{1}{x+a}\,dx, que são logaritmos. Agora começamos a decomposição.

Passo 3

Escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{3x+5}{(x+1)(x+2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x+2}.
Multiplicando ambos os lados por (x+1)(x+2) obtemos a identidade polinomial
3x+5 = A(x+2)+B(x+1).
Para encontrar A e B é prático avaliar em x=-1 e x=-2.

Passo 4

Avaliação em pontos convenientes:
  • Para x=-1:
3(-1)+5 = -3+5=2 = A(-1+2)+B\cdot 0 = A\cdot 1,
logo A=2.
  • Para x=-2:
3(-2)+5 = -6+5=-1 = A\cdot 0 + B(-2+1) = B\cdot(-1),
logo B=1.

Passo 5

Com A=2 e B=1 reescrevemos a integranda:
\frac{3x+5}{(x+1)(x+2)}=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{x+2}.
Verificação rápida: somando os numeradores obtém-se 2(x+2)+1(x+1)=3x+5, ok.

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Lembrete útil: a primitiva de \dfrac{1}{x+a} é \ln|x+a|, pois \dfrac{d}{dx}\ln|x+a|=\dfrac{1}{x+a}. Assim,
\int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln|x+1|+C, \qquad \int \frac{1}{x+2}\,dx = \ln|x+2|+C.
Portanto uma primitiva para a som a é
F(x)=2\ln|x+1|+\ln|x+2|.

Passo 7

Avaliação da integral definida de 0 a 1:
\int_{0}^{1}\frac{3x+5}{(x+1)(x+2)}\,dx = \bigl[\,2\ln|x+1|+\ln|x+2|\,\bigr]_{0}^{1}.
Como x+1>0 e x+2>0 no intervalo, podemos tirar as barras:
= \bigl(2\ln(2)+\ln(3)\bigr) - \bigl(2\ln(1)+\ln(2)\bigr).

Passo 8

Simplificar os termos:
2\ln(2)+\ln(3) - 0 - \ln(2) = \ln(2)+\ln(3) = \ln(2\cdot 3)=\ln(6).

Resposta

\ln 6

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