3^{\underline{a}}. Questão. (4,0 pontos) Calcule:
\int_{0}^{\pi / 3} x \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede que seja calculado o integral definido
\int_{0}^{\pi/3} x\sin x\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é x\sin x.
  • Os limites de integração são 0 e \pi/3.
  • A tarefa é obter o valor numérico exato do integral definido.

Passo 2

Vamos usar uma fórmula que permite integrar produtos de funções. Essa fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis então
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em relação a x,
\int \big(u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\big)\,dx = u(x)v(x) + C.
Reorganizando para isolar \int u(x)v'(x)\,dx obtemos a fórmula de integração por partes:
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função de x que escolhemos (então du=u'(x)\,dx);
  • dv é outra parte do integrando (então v é uma primitiva de dv, isto é v=\int dv).
    Essa fórmula é muito útil quando ao derivar u a expressão simplifica, e dv é algo que sabemos integrar facilmente.

Passo 3

Escolha das partes para aplicar a fórmula. Para \int x\sin x\,dx faz sentido escolher u como a parte que simplifica ao derivar (o polinômio x) e dv como a parte fácil de integrar ( \sin x\,dx). Assim:
u = x \quad\Rightarrow\quad du = dx,
dv = \sin x\,dx \quad\Rightarrow\quad v = \int \sin x\,dx = -\cos x.
(Verificação rápida: \dfrac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x.)

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x\sin x\,dx = uv - \int v\,du = (-x\cos x) - \int (-\cos x)\,dx.
Simplificando o sinal dentro do segundo integral:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx.
Integrando \cos x:
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \sin x + C.
Portanto uma primitiva é -x\cos x + \sin x.

Passo 5

Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar o integral definido:
\int_{0}^{\pi/3} x\sin x\,dx = \left[-x\cos x + \sin x\right]_{0}^{\pi/3}.
Calculemos os valores nas extremidades. Para x=\pi/3:
-x\cos x + \sin x = -\frac{\pi}{3}\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right) + \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right).
Sabendo que \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2} e \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}, obtemos
-\frac{\pi}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}.
Para x=0:
-x\cos x + \sin x = 0\cdot\cos 0 + \sin 0 = 0.
Portanto o valor do integral é
\left(-\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - 0 = -\frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 6

Verificação rápida de sentido: o termo \frac{\sqrt{3}}{2} vem da contribuição de \sin x e o termo -\frac{\pi}{6} vem do termo -x\cos x avaliado em \pi/3. O resultado é uma combinação positiva menos um termo proporcional a \pi, o que faz sentido numericamente.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\pi}{6}

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