. Questão. (4,0 pontos) Calcule:
Passo 1
O enunciado pede que seja calculado o integral definido
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
e . - A tarefa é obter o valor numérico exato do integral definido.
Passo 2
Vamos usar uma fórmula que permite integrar produtos de funções. Essa fórmula vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis então
Integrando ambos os lados em relação a
,
Reorganizando para isolar
obtemos a fórmula de integração por partes:
Aqui:
-
é uma função de que escolhemos (então ); -
é outra parte do integrando (então é uma primitiva de , isto é ).
Essa fórmula é muito útil quando ao derivara expressão simplifica, e é algo que sabemos integrar facilmente.
Passo 3
Escolha das partes para aplicar a fórmula. Para
faz sentido escolher
como a parte que simplifica ao derivar (o polinômio
) e
como a parte fácil de integrar (
). Assim:
(Verificação rápida:
.)
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando o sinal dentro do segundo integral:
Integrando
:
Portanto uma primitiva é
.
Passo 5
Agora aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo para avaliar o integral definido:
Calculemos os valores nas extremidades. Para
:
Sabendo que
e
, obtemos
Para
:
Portanto o valor do integral é
Passo 6
Verificação rápida de sentido: o termo
vem da contribuição de
e o termo
vem do termo
avaliado em
. O resultado é uma combinação positiva menos um termo proporcional a
, o que faz sentido numericamente.