3^{\underline{a}}. Questão. (4,0 pontos) Calcule:
\int \frac{3}{(x+1)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo; esta é a informação que temos:
\int \frac{3}{(x+1)^{2}}\,dx.
A tarefa é encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{3}{(x+1)^{2}}, e escrever a resposta com a constante de integração C.

Passo 2

Observação prática: a expressão \dfrac{3}{(x+1)^{2}} pode ser vista como 3 vezes (x+1)^{-2}. Reescrever potências negativas facilita o uso da regra de potência para integrais. Assim:
\int \frac{3}{(x+1)^{2}}\,dx = 3\int (x+1)^{-2}\,dx.

Passo 3

Vamos usar a substituição simples para deixar a integral numa forma padrão. Defina a nova variável
u = x+1.
Então du = dx. Como u é exatamente x+1, a integral em x passa a ser uma integral em u sem mudança no diferencial:
3\int (x+1)^{-2}\,dx = 3\int u^{-2}\,du.

Passo 4

Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para qualquer real n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=-2. Substituindo na fórmula:
\int u^{-2}\,du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1}+C = \frac{u^{-1}}{-1}+C = -u^{-1}+C.
Multiplicando pelo fator 3:
3\int u^{-2}\,du = 3\bigl(-u^{-1}+C\bigr) = -3u^{-1}+C,
onde o C final pode absorver constantes múltiplas.

Passo 5

Voltando à variável original x (lembrando que u=x+1):
-3u^{-1}+C = -\frac{3}{u}+C = -\frac{3}{x+1}+C.

Passo 6

Cheque rápido por diferenciação (para garantir que a integral está correta). Diferenciando -\dfrac{3}{x+1}+C:
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{3}{x+1}+C\right) = -3\cdot\frac{d}{dx}\!(x+1)^{-1} = -3\cdot(-1)(x+1)^{-2} = \frac{3}{(x+1)^{2}},
que é exatamente a integranda original. Portanto a resposta está correta.

Passo 7

Exemplo adicional para fixar a ideia: se fosse \int \dfrac{5}{(x+2)^{2}}\,dx, o mesmo procedimento dá -\dfrac{5}{x+2}+C. O padrão é que \int a(x+b)^{-2}\,dx = -\dfrac{a}{x+b}+C.

Resposta

-\dfrac{3}{x+1}+C

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