. Questão. (4,0 pontos) Calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida abaixo; esta é a informação que temos:
A tarefa é encontrar uma função
tal que
, e escrever a resposta com a constante de integração
.
Passo 2
Observação prática: a expressão
pode ser vista como
vezes
. Reescrever potências negativas facilita o uso da regra de potência para integrais. Assim:
Passo 3
Vamos usar a substituição simples para deixar a integral numa forma padrão. Defina a nova variável
Então
. Como
é exatamente
, a integral em
passa a ser uma integral em
sem mudança no diferencial:
Passo 4
Agora aplicamos a regra de potência para integrais: para qualquer real
,
Aqui
. Substituindo na fórmula:
Multiplicando pelo fator
:
onde o
final pode absorver constantes múltiplas.
Passo 5
Voltando à variável original
(lembrando que
):
Passo 6
Cheque rápido por diferenciação (para garantir que a integral está correta). Diferenciando
:
que é exatamente a integranda original. Portanto a resposta está correta.
Passo 7
Exemplo adicional para fixar a ideia: se fosse
, o mesmo procedimento dá
. O padrão é que
.