3^{\underline{\text { a }}} Questão ( 20 pontos) Cerca de um terço do corpo de uma pessoa que flutua no Mar Morto fica acima da superficie da água. Supondo que a massa específica do corpo humano é 0,98 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, determine a massa específica da água do Mar Morto.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a massa específica (densidade) da água do Mar Morto, sabendo que:
  • Cerca de um terço do corpo de uma pessoa que flutua fica acima da superfície da água.
  • A massa específica do corpo humano é \rho_{\text{corpo}}=0,98\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Portanto, precisamos calcular \rho_{\text{água}}á usando essas informações.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicado devagar e semanticamente): o Princípio de Arquimedes diz que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado. Para um objeto que flutua em equilíbrio (não afunda nem sobe), o empuxo é exatamente igual ao peso do corpo.
Vamos traduzir isso em equações simples e entender cada símbolo:
  • Seja V_{\text{total}} o volume total do corpo.
  • Seja V_{\text{sub}} o volume do corpo que fica submerso.
  • Seja \rho_{\text{corpo}} a densidade do corpo (dada).
  • Seja \rho_{\text{água}}á a densidade da água (o que queremos encontrar).
  • A massa do corpo é m_{\text{corpo}}=\rho_{\text{corpo}}\,V_{\text{total}}.
  • A massa do fluido deslocado é \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}á.
  • O peso do corpo é m_{\text{corpo}}g e o empuxo é \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,gá. O g (aceleração da gravidade) aparece dos dois lados e cancela.
Equilíbrio de forças (flutuação) dá:
\rho_{\text{corpo}}\,V_{\text{total}}=\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}.á

Passo 3

Vamos usar a relação entre volumes submerso e total. O enunciado diz que cerca de um terço do corpo fica acima da água; portanto a fração submersa é:
\text{fração submersa} = 1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}.çã
Isto é,
\frac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}=\frac{2}{3}.
Substituindo na equação do passo anterior:
\rho_{\text{corpo}}\,V_{\text{total}}=\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}} \quad\Longrightarrow\quad \rho_{\text{água}}=\rho_{\text{corpo}}\frac{V_{\text{total}}}{V_{\text{sub}}}.áá
Usando \dfrac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}=\dfrac{2}{3} obtemos
\rho_{\text{água}}=\frac{\rho_{\text{corpo}}}{\dfrac{V_{\text{sub}}}{V_{\text{total}}}} =\frac{\rho_{\text{corpo}}}{\tfrac{2}{3}}.á

Passo 4

Agora fazemos as contas numéricas, sem pular etapas:
\rho_{\text{água}}=\frac{0,98}{\tfrac{2}{3}}\\ \mathrm{g/cm^{3}}.á
Dividir por \tfrac{2}{3} é multiplicar por \tfrac{3}{2}:
\rho_{\text{água}}=0,98\cdot\frac{3}{2}\\ \mathrm{g/cm^{3}}.á
Calcule passo a passo:
\frac{3}{2}=1{,}5, \qquad 0,98\cdot1{,}5=0,98\cdot\left(1 + 0{,}5\right)=0,98 + 0,49=1{,}47.
Portanto
\rho_{\text{água}}=1{,}47\\ \mathrm{g/cm^{3}}.á

Passo 5

Converter para unidades do Sistema Internacional (útil em muitos contextos): 1\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Assim,
\rho_{\text{água}}=1{,}47\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1{,}47\times1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}=1470\\ \mathrm{kg/m^{3}}.á
Comentário rápido e motivador: o procedimento é simplesmente aplicar Arquimedes e relacionar frações de volume submerso. Está tudo certo — você consegue fazer isso na prova; só lembrar de transformar a fração submersa corretamente.

Resposta

\rho_{\text{água}}=1{,}47\\ \mathrm{g/cm^{3}}á
\rho_{\text{água}}=1470\\ \mathrm{kg/m^{3}}á

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