7{ }^{\underline{\text { a }}} QUESTÃO

Uma determinada empresa está analisando abrir uma nova filial em outra cidade. Dois projetos (A e B) devem ser analisados. Tendo um investimento inicial de \mathrm{R} \ 140.000,00$, os projetos apresentam os seguintes retornos:
Table 1: Tabela 1: Entradas de caixa considerando o ano e o projeto.
\captionsetup{labelformat=empty}
Ano Projeto A Projeto B
\mathbf{1} \mathrm{R} \ 50.000,00 &\mathrm{R} $65.000,00$
2 \mathrm{R} \ 65.000,00 &\mathrm{R} $65.000,00$
3 \mathrm{R} \ 80.000,00 &\mathrm{R} $65.000,00$
Fonte: Elaborado pelo professor, 2022.
Sabendo que a taxa ou custo de oportunidade é de 12 \% a.a., avalie as afirmações a seguir sobre qual a melhor alternativa de investimento utilizando o NPV.
I. O projeto A apresentou NPV de R$ 13.402,88.
II. O projeto B apresentou NPV de R$10.119,58.
III. O Projeto A deve ser aceito por ter o NPV >0 e ser maior que o NPV do Projeto B.

Passo 1

O enunciado pede que avaliemos, usando o NPV, três afirmações sobre qual projeto (A ou B) é melhor, dadas as entradas de caixa e a taxa de desconto. Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Investimento inicial: I_0=\mathrm{R}\$\;140.000,00.
  • Taxa de desconto (custo de oportunidade): r=12\% ao ano, ou seja r=0{,}12.
  • Entradas de caixa por ano (em R$):
    • Projeto A: C_{A,1}=\mathrm{R}\$\;50.000,00, C_{A,2}=\mathrm{R}\$\;65.000,00, C_{A,3}=\mathrm{R}\$\;80.000,00.
    • Projeto B: C_{B,1}=\mathrm{R}\$\;65.000,00, C_{B,2}=\mathrm{R}\$\;65.000,00, C_{B,3}=\mathrm{R}\$\;65.000,00.
Perguntas a responder (as três afirmações a avaliar):
I. O projeto A apresentou NPV de \mathrm{R}\$\;13.402{,}88.
II. O projeto B apresentou NPV de \mathrm{R}\$\;10.119{,}58.
III. O projeto A deve ser aceito por ter o NPV >0 e ser maior que o NPV do Projeto B.

Passo 2

Vou relembrar a definição e a fórmula do NPV (aula rápida e prática).
  • Ideia: o NPV (Valor Presente Líquido) traz todas as entradas de caixa futuras para o valor presente descontando pela taxa r, e subtrai o investimento inicial. Se \mathrm{NPV}>0, o projeto gera valor acima do custo de oportunidade; se \mathrm{NPV}<0, destrói valor.
  • Fórmula geral:
\mathrm{NPV}=-I_0+\sum_{t=1}^{n}\frac{C_t}{(1+r)^t},
onde:
  • I_0 é o investimento inicial (valor desembolsado no tempo zero),
  • C_t é o fluxo de caixa no ano t,
  • r é a taxa de desconto por período,
  • n é o número total de períodos.
    Explicando cada termo: \frac{C_t}{(1+r)^t} é o valor presente do fluxo do ano t; somando esses valores obtemos o valor presente das receitas totais; subtraindo I_0 temos o NPV.

Passo 3

Calcular os fatores de desconto para cada ano com r=0{,}12.
1+r=1{,}12.
Fatores:
\frac{1}{(1+r)}=\frac{1}{1{,}12}=0{,}892857142857\ldots
\frac{1}{(1+r)^2}=\frac{1}{1{,}12^2}=\frac{1}{1{,}2544}=0{,}797193877551\ldots
\frac{1}{(1+r)^3}=\frac{1}{1{,}12^3}=\frac{1}{1{,}404928}=0{,}711780249776\ldots
Vou manter precisão suficiente e depois arredondar os resultados monetários para centavos ( 0{,}01).

Passo 4

Calcular o NPV do Projeto A passo a passo (cada termo em valor presente).
Valores:
C_{A,1}=\mathrm{R}\$\;50.000,\quad C_{A,2}=\mathrm{R}\$\;65.000,\quad C_{A,3}=\mathrm{R}\$\;80.000.
PV de cada fluxo:
\frac{C_{A,1}}{(1+r)^1}=50.000\cdot 0{,}892857142857=44.642{,}85714285\ldots
\frac{C_{A,2}}{(1+r)^2}=65.000\cdot 0{,}797193877551=51.817{,}60103882\ldots
\frac{C_{A,3}}{(1+r)^3}=80.000\cdot 0{,}711780249776=56.942{,}41998208\ldots
Somando os valores presentes das entradas:
\text{PV}_{A} = 44.642{,}85714285 + 51.817{,}60103882 + 56.942{,}41998208 = 153.402{,}87816375\ldots
NPV do Projeto A:
\mathrm{NPV}_A = -140.000 + 153.402{,}87816375 = 13.402{,}87816375\ldots
Arredondando para centavos:
\mathrm{NPV}_A \approx \mathrm{R}\$\;13.402{,}88.
Portanto o valor indicado na afirmação I ( \mathrm{R}\$\;13.402{,}88 ) coincide com nosso cálculo.

Passo 5

Calcular o NPV do Projeto B passo a passo.
Valores:
C_{B,1}=65.000,\quad C_{B,2}=65.000,\quad C_{B,3}=65.000.
PV de cada fluxo:
\frac{C_{B,1}}{(1+r)^1}=65.000\cdot 0{,}892857142857=58.035{,}714285705\ldots
\frac{C_{B,2}}{(1+r)^2}=65.000\cdot 0{,}797193877551=51.817{,}60103882\ldots
\frac{C_{B,3}}{(1+r)^3}=65.000\cdot 0{,}711780249776=46.265{,}71623544\ldots
Somando os valores presentes das entradas:
\text{PV}_{B} = 58.035{,}714285705 + 51.817{,}60103882 + 46.265{,}71623544 = 156.119{,}0315600\ldots
NPV do Projeto B:
\mathrm{NPV}_B = -140.000 + 156.119{,}0315600 = 16.119{,}0315600\ldots
Arredondando para centavos:
\mathrm{NPV}_B \approx \mathrm{R}\$\;16.119{,}03.
Comparação com a afirmação II: a afirmação II dizia \mathrm{R}\$\;10.119{,}58, o que difere do nosso cálculo ( \mathrm{R}\$\;16.119{,}03); logo a afirmação II está incorreta.

Passo 6

Interpretando os resultados e decidindo qual projeto aceitar.
  • Regras rápidas:
    • Um projeto com \mathrm{NPV}>0 cria valor e, em princípio, deve ser aceito (se for um projeto isolado e a capacidade de capital permitir).
    • Se os projetos são mutuamente exclusivos (ou seja, só posso escolher um), escolhe-se o que tem maior \mathrm{NPV}.
  • Nossos valores: \mathrm{NPV}_A \approx \mathrm{R}\$\;13.402{,}88>0,
\mathrm{NPV}_B \approx \mathrm{R}\$\;16.119{,}03>0.
  • Conclusão: ambos os projetos têm \mathrm{NPV}>0 (ambos geram valor), mas o Projeto B tem \mathrm{NPV} maior que o Projeto A. Portanto, se for necessário escolher apenas um projeto (mutuamente exclusivo), o Projeto B é a melhor escolha. A afirmação III dizia que o Projeto A deve ser aceito por ter NPV >0 e ser maior que o NPV do Projeto B — a primeira parte (NPV >0) é verdadeira para A, mas a segunda parte (ser maior que o NPV de B) é falsa. Assim a afirmação III é falsa como enunciada.

Passo 7

Resumo final das avaliações das afirmações:
  • I é verdadeira (calculamos \mathrm{NPV}_A\approx\mathrm{R}\$\;13.402{,}88).
  • II é falsa (calculamos \mathrm{NPV}_B\approx\mathrm{R}\$\;16.119{,}03, não \mathrm{R}\$\;10.119{,}58).
  • III é falsa (A tem \mathrm{NPV}>0, mas não é maior que o NPV de B; portanto não é a melhor se houver que escolher apenas um).

Resposta

I. Verdadeira
II. Falsa
III. Falsa

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