9{ }^{\underline{\text { a }}} questão

Um líquido incompressível escoa (em estado estacionario) numa tubulação de seção transversal circular, que aumenta o diametro ao longo do comprimento, de uma posição inicial de diametro \mathrm{d}_{1} a uma posição de diametro final \mathrm{d}_{2}. Sendo \mathrm{u}_{1} \mathrm{a} velocidade do fluido na posição inicial, determine a relação entre u1 e u2.

Passo 1

O enunciado dá as informações seguintes: o escoamento é de um líquido incompressível e em regime estacionário numa tubulação de seção circular; o diâmetro na posição inicial é \mathrm{d}_{1} e na posição final é \mathrm{d}_{2}; a velocidade do fluido na posição inicial é \mathrm{u}_{1}. A pergunta do problema é: determinar a relação entre \mathrm{u}_{1} e \mathrm{u}_{2} (ou seja, como \mathrm{u}_{2} depende de \mathrm{u}_{1} e dos diâmetros).

Passo 2

Conservação da massa (explicação didática): para um fluido incompressível ( \rho constante) e em regime estacionário (propriedades não mudam com o tempo), a vazão mássica é a mesma em qualquer seção da tubulação. A vazão mássica é \dot{m}=\rho Q, onde Q é a vazão volumétrica. Como \rho é constante, a condição de conservação reduz-se à igualdade das vazões volumétricas em duas seções quaisquer:
Q_1 = Q_2.
Aqui \rho é a densidade do líquido (constante), Q é a vazão volumétrica (volume por unidade de tempo).

Passo 3

Definição da vazão volumétrica e das áreas: a vazão volumétrica é o produto da área da seção transversal pela velocidade média do fluido nessa seção. Se A é a área e u a velocidade média, então
Q = A \, u.
Para seção circular, a área é
A = \frac{\pi d^2}{4},
onde d é o diâmetro da seção. Nesta questão, usaremos A_1 e A_2 para as áreas correspondentes a \mathrm{d}_1 e \mathrm{d}_2:
A_1 = \frac{\pi \mathrm{d}_1^2}{4},\qquad A_2 = \frac{\pi \mathrm{d}_2^2}{4}.

Passo 4

Aplicando a igualdade das vazões volumétricas entre a seção 1 e a seção 2:
Q_1 = Q_2 \quad\Rightarrow\quad A_1 \, \mathrm{u}_1 = A_2 \, \mathrm{u}_2.
Substituindo as áreas circulares:
\frac{\pi \mathrm{d}_1^2}{4}\,\mathrm{u}_1 \;=\; \frac{\pi \mathrm{d}_2^2}{4}\,\mathrm{u}_2.
Agora simplificamos: o fator comum \pi/4 cancela dos dois lados, ficando
\mathrm{d}_1^2\,\mathrm{u}_1 = \mathrm{d}_2^2\,\mathrm{u}_2.

Passo 5

Isolando \mathrm{u}_2 em função de \mathrm{u}_1:
\mathrm{u}_2 = \frac{\mathrm{d}_1^2}{\mathrm{d}_2^2}\,\mathrm{u}_1.
Interpretação prática: se o diâmetro aumenta ( \mathrm{d}_2>\mathrm{d}_1), então \mathrm{u}_2<\mathrm{u}_1 pelo fator \left(\mathrm{d}_1/\mathrm{d}_2\right)^2. Alternativamente, podemos escrever a relação invertida:
\mathrm{u}_1 = \frac{\mathrm{d}_2^2}{\mathrm{d}_1^2}\,\mathrm{u}_2.

Passo 6

Exemplo numérico rápido (para fixar): se \mathrm{d}_1=2 cm e \mathrm{d}_2=4 cm, então
\mathrm{u}_2 = \left(\frac{2}{4}\right)^2 \mathrm{u}_1 = \frac{1}{4}\mathrm{u}_1,
ou seja, a velocidade cai para um quarto do valor inicial. Dica para a prova: escreva sempre Q=A u, substitua A=\pi d^2/4 e cancele \pi/4 — é rápido e evita erro.

Resposta

\mathrm{u}_2 = \left(\dfrac{\mathrm{d}_1}{\mathrm{d}_2}\right)^2 \mathrm{u}_1

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