Em uma unidade de atendimento da Receita Federal dois funcionários recebem processos. Sabese que os tempos de atendimento dos funcionários 1 e 2 são supostos normais. Observaram-se aleatoriamente os tempos de 16 atendimentos do funcionário 1 , e 25 atendimentos do funcionário 2 com médias 18 e 25 minutos, respectivamente. Elabore testes de hipótese ( \alpha=0,05 ) para decidir se: ( 3 pts ) (Identifique o parâmetro, a variável fulcral, as hipóteses, o valor observado, a regiāo de rejeição - ou valor p - e a conclusão)
O tempo médio do funcionário 2 é superior ao do funcionário 1 , se os desvios padrão amostrais observados foram 8 e 16 minutos, respectivamente? (suponha os desvios padrão populacionais diferentes).
Passo 1
O enunciado pede que testemos se o tempo médio do funcionário 2 é superior ao do funcionário 1 com nível de significância \alpha=0,05. Dados observados (peguei-os do enunciado):
tamanho da amostra do funcionário 1: n_1=16
média amostral do funcionário 1: \overline{x}_1=18 minutos
desvio padrão amostral do funcionário 1: s_1=8 minutos
tamanho da amostra do funcionário 2: n_2=25
média amostral do funcionário 2: \overline{x}_2=25 minutos
desvio padrão amostral do funcionário 2: s_2=16 minutos
O enunciado também diz para supor que as variâncias populacionais são diferentes (logo não podemos usar o teste t com variâncias iguais). A pergunta é essencialmente: há evidência estatística, ao nível \alpha=0,05, de que o tempo médio do funcionário 2 é maior que o do funcionário 1?
Passo 2
Identificação do parâmetro, da variável fulcral e das hipóteses:
Parâmetro de interesse: a diferença entre as médias populacionais \mu_2-\mu_1, onde \mu_1 é a média do funcionário 1 e \mu_2 a do funcionário 2.
Variável fulcral (estatística de teste): o escore t dado pelo teste t de Welch (teste t para duas amostras com variâncias possivelmente diferentes).
\overline{x}_1,\overline{x}_2 são as médias amostrais;
s_1^2,s_2^2 são as variâncias amostrais (s_i^2 = (s_i)^2);
n_1,n_2 são os tamanhos das amostras.
Explicação rápida: o numerador é a diferença observada entre as médias; o denominador é o erro padrão da diferença quando as duas amostras são independentes e têm variâncias possivelmente diferentes. Esse t compara quantas unidades de erro padrão a diferença observada está longe de zero.
Passo 4
Calcular o numerador e o denominador com os números dados (contas passo a passo):
Significado: \nu é um valor que substitui os graus de liberdade na distribuição t quando as variâncias são desiguais; a fórmula balanceia a incerteza de cada amostra.
Na prática usamos \nu\approx 37{,}3 (poderíamos arredondar para 37 ou usar 37{,}3 em software). Esse é o número de graus de liberdade que usamos para comparar com a distribuição t.
Passo 6
Decisão pelo valor crítico e cálculo do p-valor (explico os dois métodos; ambos levam à mesma conclusão):
Método do valor crítico (teste unilateral à direita): para nível \alpha=0,05 e graus de liberdade \nu\approx 37{,}3, o valor crítico é aproximadamente
Região de rejeição: rejeitamos H_0 se t>t_{crit}. Como o t observado é t\approx 1{,}854, temos
1{,}854>1{,}686,
logo caímos na região de rejeição.
Método do valor-p: o valor-p é a probabilidade, sob H_0, de observar um t tão extremo ou mais extremo que o observado. Para um teste unilateral à direita,
\text{p-valor} = P(T_\nu \ge 1{,}854).
Com \nu\approx 37 essa probabilidade é aproximadamente \text{p-valor}\approx 0{,}035 (cálculo numérico/interpolação da t-distribuição). Como \text{p-valor}<\alpha (0{,}035<0{,}05), rejeitamos H_0.
Interpretação do p-valor: há cerca de 3{,}5\% de chance de observarmos uma diferença de médias tão grande quanto a observada se realmente \mu_2\le\mu_1. Esse nível de surpresa é menor que \alpha=5\%, por isso consideramos a evidência suficiente contra H_0.
Passo 7
Conclusão final, em linguagem simples e incentivadora:
Usando o teste t de Welch (variâncias desiguais) com \alpha=0{,}05, o estatístico observado é t\approx 1{,}854 com \nu\approx 37{,}3 graus de liberdade; o valor crítico unilateral é cerca de 1{,}686 e o p-valor aproximado é 0{,}035.
Como t>t_{crit} e \text{p-valor}<\alpha, rejeitamos H_0. Logo, há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que o tempo médio do funcionário 2 é superior ao do funcionário 1.
Força aí — deu trabalho, mas a conclusão é que o funcionário 2 demora mais em média que o funcionário 1, com evidência estatística ao nível 5\%.
Resposta
Rejeita-se H_0; há evidência de que \mu_2>\mu_1. (Estatístico t\approx 1{,}854, \nu\approx 37{,}3, p-valor \approx 0{,}035.)