Em uma unidade de atendimento da Receita Federal dois funcionários recebem processos. Sabese que os tempos de atendimento dos funcionários 1 e 2 são supostos normais. Observaram-se aleatoriamente os tempos de 16 atendimentos do funcionário 1 , e 25 atendimentos do funcionário 2 com médias 18 e 25 minutos, respectivamente. Elabore testes de hipótese ( \alpha=0,05 ) para decidir se: ( 3 pts ) (Identifique o parâmetro, a variável fulcral, as hipóteses, o valor observado, a regiāo de rejeição - ou valor p - e a conclusão)
O tempo médio do funcionário 2 é superior ao do funcionário 1 , se os desvios padrão amostrais observados foram 8 e 16 minutos, respectivamente? (suponha os desvios padrão populacionais diferentes).

Passo 1

O enunciado pede que testemos se o tempo médio do funcionário 2 é superior ao do funcionário 1 com nível de significância \alpha=0,05. Dados observados (peguei-os do enunciado):
  • tamanho da amostra do funcionário 1: n_1=16
  • média amostral do funcionário 1: \overline{x}_1=18 minutos
  • desvio padrão amostral do funcionário 1: s_1=8 minutos
  • tamanho da amostra do funcionário 2: n_2=25
  • média amostral do funcionário 2: \overline{x}_2=25 minutos
  • desvio padrão amostral do funcionário 2: s_2=16 minutos
O enunciado também diz para supor que as variâncias populacionais são diferentes (logo não podemos usar o teste t com variâncias iguais). A pergunta é essencialmente: há evidência estatística, ao nível \alpha=0,05, de que o tempo médio do funcionário 2 é maior que o do funcionário 1?

Passo 2

Identificação do parâmetro, da variável fulcral e das hipóteses:
  • Parâmetro de interesse: a diferença entre as médias populacionais \mu_2-\mu_1, onde \mu_1 é a média do funcionário 1 e \mu_2 a do funcionário 2.
  • Variável fulcral (estatística de teste): o escore t dado pelo teste t de Welch (teste t para duas amostras com variâncias possivelmente diferentes).
  • Hipóteses (teste unilateral direita): H_0:\\ \mu_2-\mu_1 \le 0
H_a:\\ \mu_2-\mu_1 > 0
Interpretando: H_a diz que o funcionário 2 demora mais em média do que o funcionário 1.

Passo 3

Fórmula do teste (explicando cada termo): usamos o estatístico de Welch
t=\frac{\overline{x}_2-\overline{x}_1}{\sqrt{\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}}},
onde
  • \overline{x}_1,\overline{x}_2 são as médias amostrais;
  • s_1^2,s_2^2 são as variâncias amostrais ( s_i^2 = (s_i)^2);
  • n_1,n_2 são os tamanhos das amostras.
Explicação rápida: o numerador é a diferença observada entre as médias; o denominador é o erro padrão da diferença quando as duas amostras são independentes e têm variâncias possivelmente diferentes. Esse t compara quantas unidades de erro padrão a diferença observada está longe de zero.

Passo 4

Calcular o numerador e o denominador com os números dados (contas passo a passo):
  • Diferença das médias:
\overline{x}_2-\overline{x}_1 = 25-18 = 7.
  • Variâncias amostrais:
s_1^2 = 8^2 = 64,\qquad s_2^2 = 16^2 = 256.
  • Componentes do erro padrão:
\frac{s_1^2}{n_1}=\frac{64}{16}=4,
\frac{s_2^2}{n_2}=\frac{256}{25}=10{,}24.
  • Soma e raiz:
\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}=4+10{,}24=14{,}24,
\sqrt{14{,}24}\approx 3{,}7749.
  • Estatístico t:
t=\frac{7}{3{,}7749}\approx 1{,}854.

Passo 5

Graus de liberdade aproximados (fórmula de Welch) — explico a fórmula e depois computo numericamente. Fórmula:
\nu \approx \frac{\left(\dfrac{s_1^2}{n_1}+\dfrac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\dfrac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}+\dfrac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}}.
Significado: \nu é um valor que substitui os graus de liberdade na distribuição t quando as variâncias são desiguais; a fórmula balanceia a incerteza de cada amostra.
Agora os cálculos (vou mostrar cada parcela):
  • Numerador:
\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2 = (14{,}24)^2 = 202{,}7776.
  • Primeiro termo do denominador:
\frac{s_1^4}{n_1^2(n_1-1)}=\frac{64^2}{16^2\cdot 15}=\frac{4096}{256\cdot 15}=\frac{4096}{3840}\approx 1{,}0666667.
  • Segundo termo do denominador:
\frac{s_2^4}{n_2^2(n_2-1)}=\frac{256^2}{25^2\cdot 24}=\frac{65536}{625\cdot 24}=\frac{65536}{15000}\approx 4{,}3690667.
  • Soma do denominador:
1{,}0666667+4{,}3690667\approx 5{,}4357334.
  • Portanto
\nu \approx \frac{202{,}7776}{5{,}4357334}\approx 37{,}32.
Na prática usamos \nu\approx 37{,}3 (poderíamos arredondar para 37 ou usar 37{,}3 em software). Esse é o número de graus de liberdade que usamos para comparar com a distribuição t.

Passo 6

Decisão pelo valor crítico e cálculo do p-valor (explico os dois métodos; ambos levam à mesma conclusão):
  • Método do valor crítico (teste unilateral à direita): para nível \alpha=0,05 e graus de liberdade \nu\approx 37{,}3, o valor crítico é aproximadamente
t_{crit}\approx t_{0{,}95;\,37}\approx 1{,}686\\ (\text{valor tabelado}).
Região de rejeição: rejeitamos H_0 se t>t_{crit}. Como o t observado é t\approx 1{,}854, temos
1{,}854>1{,}686,
logo caímos na região de rejeição.
  • Método do valor-p: o valor-p é a probabilidade, sob H_0, de observar um t tão extremo ou mais extremo que o observado. Para um teste unilateral à direita,
\text{p-valor} = P(T_\nu \ge 1{,}854).
Com \nu\approx 37 essa probabilidade é aproximadamente \text{p-valor}\approx 0{,}035 (cálculo numérico/interpolação da t-distribuição). Como \text{p-valor}<\alpha ( 0{,}035<0{,}05), rejeitamos H_0.
Interpretação do p-valor: há cerca de 3{,}5\% de chance de observarmos uma diferença de médias tão grande quanto a observada se realmente \mu_2\le\mu_1. Esse nível de surpresa é menor que \alpha=5\%, por isso consideramos a evidência suficiente contra H_0.

Passo 7

Conclusão final, em linguagem simples e incentivadora:
  • Usando o teste t de Welch (variâncias desiguais) com \alpha=0{,}05, o estatístico observado é t\approx 1{,}854 com \nu\approx 37{,}3 graus de liberdade; o valor crítico unilateral é cerca de 1{,}686 e o p-valor aproximado é 0{,}035.
  • Como t>t_{crit} e \text{p-valor}<\alpha, rejeitamos H_0. Logo, há evidência estatística, ao nível de 5\%, de que o tempo médio do funcionário 2 é superior ao do funcionário 1.
Força aí — deu trabalho, mas a conclusão é que o funcionário 2 demora mais em média que o funcionário 1, com evidência estatística ao nível 5\%.

Resposta

Rejeita-se H_0; há evidência de que \mu_2>\mu_1. (Estatístico t\approx 1{,}854, \nu\approx 37{,}3, p-valor \approx 0{,}035.)

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