Um guarda-florestal, que estuda os efeitos da fertilização em certas florestas de pino numa região, esta interessado em estimar a média da área da base dos pinos. Ao estudar áreas das bases similares descobriu que tais mensuras (em centímetros quadrados) estão distribuidas normalmente. Se o guarda-florestal toma uma amostra de 30 arvores, obtendo uma média de 9510 , e desvio padrão de 115 \mathrm{~cm}^{2}. (3 pts) (Identifique o parâmetro e a variável fulcral).
Encontre um intervalo de confiança de 95 \% para área média da base, supondo o desvio padrão populacional não conhecido.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) identificar o parâmetro e a variável fulcral; (2) encontrar um intervalo de confiança de 95\% para a média da área da base dos pinheiros, supondo que o desvio padrão populacional é desconhecido.
Dados fornecidos:
n=30,\qquad \bar{x}=9510,\qquad s=115\\ \text{(cm}^2\text{)}
Além disso foi informado que as medidas seguem distribuição normal. Não há valor do desvio padrão populacional ( \sigma), portanto devemos tratar \sigma como desconhecido.

Passo 2

Princípio e fórmula que vamos usar. Quando \sigma é desconhecido e a amostra vem de população normal (ou n grande), o intervalo de confiança para a média populacional \mu usa a distribuição t de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança de (1-\alpha)\cdot 100\% é
\bar{x}\pm t_{\alpha/2,\,n-1}\,\frac{s}{\sqrt{n}}.
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=9510).
  • t_{\alpha/2,\,n-1} é o quantil crítico da distribuição t com n-1 graus de liberdade, tal que a área nas duas caudas somadas seja \alpha. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e usamos t_{0,025,\,n-1}.
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=115).
  • \sqrt{n} aparece porque a incerteza da média decresce com o tamanho da amostra; a quantidade \dfrac{s}{\sqrt{n}} chama-se erro padrão da média (standard error).
Também: os graus de liberdade são df=n-1. Oferece-se essa distribuição t porque ao estimarmos \sigma por s introduzimos variação adicional que a t captura.

Passo 3

Calcular os graus de liberdade:
df=n-1=30-1=29.

Passo 4

Obter o valor crítico t. Para nível de 95\% temos \alpha=0,05 e precisamos de t_{0,025,29}. Consultando tabela t ou calculadora estatística:
t_{0,025,29}\approx 2,045.
(Explicação curta: a tabela dá o valor tal que a área acima dele na cauda superior é 0,025, com 29 graus de liberdade.)

Passo 5

Calcular o erro padrão da média:
\sqrt{n}=\sqrt{30}\approx 5,4772,
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{115}{\sqrt{30}}\approx \frac{115}{5,4772}\approx 20,996.
Aqui mostrei passo a passo: primeiro a raiz, depois a divisão.

Passo 6

Calcular a margem de erro (ME) multiplicando t pelo erro padrão:
\text{ME}=t_{0,025,29}\cdot\text{SE}\approx 2,045\cdot 20,996\approx 42,94\\ \text{(cm}^2\text{)}.
Expliquei como foi feita a multiplicação: produto do quantil t pelo erro padrão.

Passo 7

Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem de erro da média amostral:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{ME}=9510-42,94\approx 9467,06,
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{ME}=9510+42,94\approx 9552,94.
Interpretação final (curta e amigável): temos 95\% de confiança de que a verdadeira média da área da base dos pinheiros na população está entre 9467,06\\ \text{cm}^2 e 9552,94\\ \text{cm}^2.

Resposta

Parâmetro: média populacional \mu. Variável fulcral: área da base X (em \mathrm{cm}^2).
Intervalo de confiança de 95\% para \mu: [9467,06;\;9552,94]\\ \text{cm}^2

Exercícios relacionados