Um guarda-florestal, que estuda os efeitos da fertilização em certas florestas de pino numa região, esta interessado em estimar a média da área da base dos pinos. Ao estudar áreas das bases similares descobriu que tais mensuras (em centímetros quadrados) estão distribuidas normalmente. Se o guarda-florestal toma uma amostra de 30 arvores, obtendo uma média de 9510 , e desvio padrão de
. (3 pts) (Identifique o parâmetro e a variável fulcral).
Encontre um intervalo de confiança de
para área média da base, supondo o desvio padrão populacional não conhecido.
Encontre um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) identificar o parâmetro e a variável fulcral; (2) encontrar um intervalo de confiança de
para a média da área da base dos pinheiros, supondo que o desvio padrão populacional é desconhecido.
Dados fornecidos:
Dados fornecidos:
Além disso foi informado que as medidas seguem distribuição normal. Não há valor do desvio padrão populacional (
), portanto devemos tratar
como desconhecido.
Passo 2
Princípio e fórmula que vamos usar. Quando
é desconhecido e a amostra vem de população normal (ou
grande), o intervalo de confiança para a média populacional
usa a distribuição
de Student. A fórmula geral do intervalo de confiança de
é
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (aqui ). -
é o quantil crítico da distribuição com graus de liberdade, tal que a área nas duas caudas somadas seja . Para de confiança, e usamos . -
é o desvio-padrão amostral (aqui ). -
aparece porque a incerteza da média decresce com o tamanho da amostra; a quantidade chama-se erro padrão da média (standard error).
Também: os graus de liberdade são
. Oferece-se essa distribuição
porque ao estimarmos
por
introduzimos variação adicional que a
captura.
Passo 3
Calcular os graus de liberdade:
Passo 4
Obter o valor crítico
. Para nível de
temos
e precisamos de
. Consultando tabela
ou calculadora estatística:
(Explicação curta: a tabela dá o valor tal que a área acima dele na cauda superior é
, com
graus de liberdade.)
Passo 5
Calcular o erro padrão da média:
Aqui mostrei passo a passo: primeiro a raiz, depois a divisão.
Passo 6
Calcular a margem de erro (ME) multiplicando
pelo erro padrão:
Expliquei como foi feita a multiplicação: produto do quantil
pelo erro padrão.
Passo 7
Construir o intervalo de confiança somando/subtraindo a margem de erro da média amostral:
Interpretação final (curta e amigável): temos
de confiança de que a verdadeira média da área da base dos pinheiros na população está entre
e
.
Resposta
Parâmetro: média populacional
. Variável fulcral: área da base
(em
).
Intervalo de confiança de para
:
Intervalo de confiança de