Em uma unidade de atendimento da Receita Federal dois funcionários recebem processos. Sabese que os tempos de atendimento dos funcionários 1 e 2 são supostos normais. Observaram-se aleatoriamente os tempos de 16 atendimentos do funcionário 1 , e 25 atendimentos do funcionário 2 com médias 18 e 25 minutos, respectivamente. Elabore testes de hipótese (
) para decidir se: ( 3 pts ) (Identifique o parâmetro, a variável fulcral, as hipóteses, o valor observado, a regiāo de rejeição - ou valor p - e a conclusão)
Os tempos médios de atendimento são iguais se, os desvios padrão populacionais são conhecidos:
e
minutos?
Os tempos médios de atendimento são iguais se, os desvios padrão populacionais são conhecidos:
Passo 1
O enunciado pede para testar se os tempos médios de atendimento dos dois funcionários são iguais, com nível de significância
. Dados observados (retirei estes valores do enunciado):
Peça solicitada: elaborar o teste de hipótese completo (identificar o parâmetro, a variável fulcral, as hipóteses, o valor observado da estatística de teste, a região de rejeição ou valor-p e a conclusão).
Passo 2
Parâmetro e variável fulcral:
- Parâmetro de interesse:
, onde é a média populacional do tempo de atendimento do funcionário 1 e é a média do funcionário 2. - Variável fulcral: a diferença entre as médias amostrais
.
Hipóteses (teste bilateral porque queremos saber se as médias são iguais ou diferentes):
Passo 3
Escolha do teste e derivação da estatística:
- Como os desvios padrão populacionais são conhecidos (
e ) e as amostras vêm de populações normais, a estatística apropriada é a estatística Z para a diferença de médias. - Sob
(diferença nula), a distribuição de é normal com média e variância . Portanto a estatística de teste é
Explicando:
é a variância do processo 1,
a do processo 2; ao subtrair duas médias independentes as variâncias somam, por isso aparece a soma das frações.
Passo 4
Cálculo numérico passo a passo da estatística observada:
- Diferença das médias amostrais:
- Calcular a variância do numerador (os termos dentro da raiz):
- Soma das variâncias e desvio padrão combinado (erro padrão):
- Estatística observada:
Passo 5
Região crítica, valor-p e comparação com
:
- Como o teste é bilateral e
, os valores críticos são . Região de rejeição: . - Observamos
, que é menor que ; portanto não está na região de rejeição. - Valor-p (duas caudas):
- Interpretação do valor-p: a probabilidade de observar uma diferença tão extrema (ou mais) entre as médias, assumindo que realmente
, é aproximadamente , que é maior que .
Passo 6
Conclusão em linguagem contextual e observações:
- Como
e , não rejeitamos ao nível de significância . - Conclusão prática: não há evidência estatística suficiente, ao nível de
, para afirmar que os tempos médios de atendimento dos dois funcionários são diferentes. Em palavras simples: os dados não mostram diferença significativa entre as médias com o critério escolhido. - Observação importante (interpretativa): "não rejeitar
" não prova que ; apenas indica que, com estes dados e este nível , não houve evidência suficiente contra a igualdade. - Assunções utilizadas: populações com distribuição normal e desvios padrão populacionais conhecidos (conforme enunciado). Se alguma dessas assunções não for razoável, o resultado pode mudar.
Resposta
Não rejeita-se
ao nível
. Estatística observada
. Valor-p
.