Em uma unidade de atendimento da Receita Federal dois funcionários recebem processos. Sabese que os tempos de atendimento dos funcionários 1 e 2 são supostos normais. Observaram-se aleatoriamente os tempos de 16 atendimentos do funcionário 1 , e 25 atendimentos do funcionário 2 com médias 18 e 25 minutos, respectivamente. Elabore testes de hipótese ( \alpha=0,05 ) para decidir se: ( 3 pts ) (Identifique o parâmetro, a variável fulcral, as hipóteses, o valor observado, a regiāo de rejeição - ou valor p - e a conclusão)
Os tempos médios de atendimento são iguais se, os desvios padrão populacionais são conhecidos: \sigma_{1}=8 e \sigma_{2}=16 minutos?

Passo 1

O enunciado pede para testar se os tempos médios de atendimento dos dois funcionários são iguais, com nível de significância \alpha=0{,}05. Dados observados (retirei estes valores do enunciado):
n_1=16,\quad \bar{x}_1=18,\quad \sigma_1=8,
n_2=25,\quad \bar{x}_2=25,\quad \sigma_2=16.
Peça solicitada: elaborar o teste de hipótese completo (identificar o parâmetro, a variável fulcral, as hipóteses, o valor observado da estatística de teste, a região de rejeição ou valor-p e a conclusão).

Passo 2

Parâmetro e variável fulcral:
  • Parâmetro de interesse: \mu_1-\mu_2, onde \mu_1 é a média populacional do tempo de atendimento do funcionário 1 e \mu_2 é a média do funcionário 2.
  • Variável fulcral: a diferença entre as médias amostrais \bar{X}_1-\bar{X}_2.
Hipóteses (teste bilateral porque queremos saber se as médias são iguais ou diferentes):
H_0:\\ \mu_1=\mu_2\quad\text{(ou }\mu_1-\mu_2=0\text{)}
H_1:\\ \mu_1\neq\mu_2\quad\text{(ou }\mu_1-\mu_2\neq 0\text{)}

Passo 3

Escolha do teste e derivação da estatística:
  • Como os desvios padrão populacionais são conhecidos ( \sigma_1 e \sigma_2) e as amostras vêm de populações normais, a estatística apropriada é a estatística Z para a diferença de médias.
  • Sob H_0 (diferença nula), a distribuição de \bar{X}_1-\bar{X}_2 é normal com média 0 e variância \displaystyle \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}. Portanto a estatística de teste é
Z=\frac{(\bar{X}_1-\bar{X}_2)-0}{\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}}.
Explicando: \sigma_1^2 é a variância do processo 1, \sigma_2^2 a do processo 2; ao subtrair duas médias independentes as variâncias somam, por isso aparece a soma das frações.

Passo 4

Cálculo numérico passo a passo da estatística observada:
  • Diferença das médias amostrais:
\bar{x}_1-\bar{x}_2=18-25=-7.
  • Calcular a variância do numerador (os termos dentro da raiz):
\frac{\sigma_1^2}{n_1}=\frac{8^2}{16}=\frac{64}{16}=4,
\frac{\sigma_2^2}{n_2}=\frac{16^2}{25}=\frac{256}{25}=10{,}24.
  • Soma das variâncias e desvio padrão combinado (erro padrão):
\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}=4+10{,}24=14{,}24,
\text{erro padrão }=\sqrt{14{,}24}=3{,}7749\quad(\text{aprox.}).ã
  • Estatística observada:
Z_{\text{obs}}=\frac{-7}{3{,}7749}\approx -1{,}854.

Passo 5

Região crítica, valor-p e comparação com \alpha:
  • Como o teste é bilateral e \alpha=0{,}05, os valores críticos são \pm z_{0{,}025}=\pm 1{,}96. Região de rejeição: |Z|>1{,}96.
  • Observamos |Z_{\text{obs}}|=1{,}854, que é menor que 1{,}96; portanto não está na região de rejeição.
  • Valor-p (duas caudas):
\text{valor-p}=2\cdot P\big(Z\le Z_{\text{obs}}\big)=2\cdot P\big(Z\le -1{,}854\big)\approx 2\cdot 0{,}0319=0{,}0638.
  • Interpretação do valor-p: a probabilidade de observar uma diferença tão extrema (ou mais) entre as médias, assumindo que realmente \mu_1=\mu_2, é aproximadamente 0{,}0638, que é maior que \alpha=0{,}05.

Passo 6

Conclusão em linguagem contextual e observações:
  • Como |Z_{\text{obs}}|<1{,}96 e \text{valor-p}=0{,}0638>0{,}05, não rejeitamos H_0 ao nível de significância 0{,}05.
  • Conclusão prática: não há evidência estatística suficiente, ao nível de 5\%, para afirmar que os tempos médios de atendimento dos dois funcionários são diferentes. Em palavras simples: os dados não mostram diferença significativa entre as médias com o critério escolhido.
  • Observação importante (interpretativa): "não rejeitar H_0" não prova que \mu_1=\mu_2; apenas indica que, com estes dados e este nível \alpha, não houve evidência suficiente contra a igualdade.
  • Assunções utilizadas: populações com distribuição normal e desvios padrão populacionais conhecidos (conforme enunciado). Se alguma dessas assunções não for razoável, o resultado pode mudar.

Resposta

Não rejeita-se H_0 ao nível \alpha=0{,}05. Estatística observada Z\approx -1{,}854. Valor-p \approx 0{,}0638.

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