1.3.3 A unidade correta de viscosidade dinâmica é:
(a) \mathrm{m} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{kg}
(b) \mathrm{kg} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{N}
(c) \mathrm{N} \cdot \mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}
(d) \mathrm{kg} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}
(e) \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m}

Passo 1

O enunciado pergunta qual é a unidade correta de viscosidade dinâmica. As alternativas dadas são (copiadas exatamente):
(a) \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{kg}
(b) \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{N}
(c) \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}
(d) \mathrm{kg}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}
(e) \mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}
O objetivo é decidir qual dessas expressões corresponde à unidade de viscosidade dinâmica.

Passo 2

Vamos entender o que é a viscosidade dinâmica \mu em termos de unidades. Pela lei de Newton da viscosidade (forma mais usada para fluidos newtonianos) tem-se:
\tau = \mu\,\frac{\partial u}{\partial y},
onde:
  • \tau é a tensão de cisalhamento (shear stress),
  • \dfrac{\partial u}{\partial y} é o gradiente de velocidade (variação de velocidade por unidade de distância), com unidade \text{tempo}^{-1} (ou seja, 1/\text{s}).
Logo, isolando \mu:
\mu = \frac{\tau}{\partial u/\partial y}.

Passo 3

Agora vamos ver as unidades de cada termo:
  • A tensão de cisalhamento \tau tem as mesmas unidades de pressão, ou seja \text{N}/\text{m}^{2} (pascal, \text{Pa}).
  • O gradiente de velocidade \partial u/\partial y tem unidades 1/\text{s}.
Portanto:
\text{unidade de }\mu = \frac{\text{Pa}}{1/\text{s}} = \text{Pa}\cdot\text{s}.

Passo 4

Converter \text{Pa}\cdot\text{s} para unidades fundamentais do SI:
\text{Pa} = \frac{\text{N}}{\text{m}^{2}},\qquad \text{N} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}}.
Assim,
\text{Pa}\cdot\text{s} = \frac{\text{N}}{\text{m}^{2}}\cdot\text{s} = \frac{\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}}}{\text{m}^{2}}\cdot\text{s} = \frac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}}.
Portanto a unidade correta, em unidades base, é \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}.

Passo 5

Vamos simplificar cada alternativa às unidades base e comparar com \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}.
(a) \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{kg} é \dfrac{\text{m}\cdot\text{s}}{\text{kg}} — claramente o inverso (dimensionalmente diferente) de \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}. Não coincide.
(b) \mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{N} = \dfrac{\text{kg}\cdot\text{s}}{\text{N}}. Substituindo \text{N}=\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}} obtemos
\frac{\text{kg}\cdot\text{s}}{\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}}} = \frac{\text{s}}{\text{m}/\text{s}^{2}} = \frac{\text{s}^{3}}{\text{m}},
que não é \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}}.
(c) \mathrm{N}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} = \dfrac{\text{N}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}}. Substituindo \text{N}
\frac{\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}} = \frac{\text{kg}\cdot\text{m}^{2}}{\text{s}^{4}},
não é \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}}.
(d) A escrita da alternativa é \mathrm{kg}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}. A interpretação correta e convencional (para corresponder ao formato de unidade de viscosidade) é
\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}},
que coincide exatamente com o resultado obtido acima para \text{Pa}\cdot\text{s}. (Se alguém interpretasse \mathrm{kg}/\mathrm{m}\cdot\mathrm{s} como (\mathrm{kg}/\mathrm{m})\cdot\mathrm{s}=\mathrm{kg}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}, isso seria outra expressão distinta; entretanto, a forma padrão para exprimir a unidade de viscosidade é \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}.)
(e) \mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m} = \dfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{m}}. Substituindo \text{N} obtemos
\frac{\dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}}\cdot\text{s}}{\text{m}} = \frac{\text{kg}}{\text{s}},
que também não é \dfrac{\text{kg}}{\text{m}\cdot\text{s}}.

Passo 6

Conclusão: a unidade correta de viscosidade dinâmica é \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}, que corresponde à alternativa (d) conforme a interpretação padrão.

Resposta

(d)

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