1.3.1 Viscosidade tem dimensões
(a) F L^{-2} T
(b) F L^{-1} T^{-1}
(c) \boldsymbol{F} \boldsymbol{L} \boldsymbol{T}^{\mathbf{- 2}}
(d) F L^{2} T
(e) F L T^{2}

Passo 1

O enunciado pergunta qual das opções representa as dimensões da viscosidade. As opções dadas são:
(a) F L^{-2} T
(b) F L^{-1} T^{-1}
(c) F L T^{-2}
(d) F L^{2} T
(e) F L T^{2}
O objetivo é determinar, a partir da definição física de viscosidade, qual dessas expressões dimensionais está correta.

Passo 2

Definição prática e fórmula que vamos usar. A viscosidade dinâmica (geralmente indicada por \mu) é definida como a razão entre a tensão de cisalhamento (shear stress) \tau e o gradiente de velocidade \partial v/\partial y associado ao cisalhamento:
\mu=\frac{\tau}{\partial v/\partial y}.
Aqui:
  • \tau é a tensão de cisalhamento, que tem a dimensão de força por unidade de área;
  • \partial v/\partial y é o gradiente de velocidade perpendicular ao plano de cisalhamento, que tem dimensão de inverso do tempo.
Vou explicar e calcular as dimensões de cada um desses termos.

Passo 3

Dimensão da tensão de cisalhamento \tau. A tensão é força sobre área, portanto:
[\tau]=\frac{F}{L^{2}}=F L^{-2}.
Isso significa: tensão tem dimensão F L^{-2}.

Passo 4

Dimensão do gradiente de velocidade \partial v/\partial y. A velocidade v tem dimensão L T^{-1}. Dividindo por uma distância L (pois é derivada em relação a y) obtém-se:
\left[\frac{\partial v}{\partial y}\right]=\frac{L T^{-1}}{L}=T^{-1}.
Ou seja, o gradiente de velocidade tem dimensão T^{-1}.

Passo 5

Combinar as duas dimensões na definição de \mu. Aplicando
[\mu]=\frac{[\tau]}{[\partial v/\partial y]}=\frac{F L^{-2}}{T^{-1}}=F L^{-2} T.
Fiz a divisão de T^{-1} que resulta em multiplicar por T.

Passo 6

Verificação rápida em unidades SI (intuitiva): a viscosidade dinâmica é dada em Pa·s. Como 1\\ \text{Pa}=1\\ \text{N}\,\text{m}^{-2} e \text{N} é unidade de força, Pa·s = N·s·m^{-2}, que corresponde exatamente à forma F L^{-2} T em termos de força, comprimento e tempo. Isso confirma o resultado.

Passo 7

Resumo didático curto: tensão = força/área \Rightarrow F L^{-2}. Gradiente de velocidade = velocidade/distância \Rightarrow T^{-1}. Viscosidade = tensão / gradiente \Rightarrow F L^{-2} T. Mantém a ideia física que viscosidade “tem tempo” no numerador porque relaciona esforço (força/área) com uma taxa de deformação (1/tempo).

Resposta

(a)

Exercícios relacionados