Uma unidade fabril da Intel produziu 500.000 chips Pentium IV em certo período. São selecionados, aleatoriamente, 400 chips para testes.
a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados. Use nível de confiança de 95%.
b) Verificar se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99% de confiança, com erro amostral máximo de
, para a proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra?
a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados. Use nível de confiança de 95%.
b) Verificar se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99% de confiança, com erro amostral máximo de
Passo 1
Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo que vem do enunciado):
- População (total de chips produzidos):
. - Tamanho da amostra selecionada:
. - Na amostra,
chips não têm velocidade adequada (peguei esse número do enunciado). - Nível de confiança pedido no item (a):
. - No item (b) pede verificar se a amostra atual é suficiente para um intervalo com nível de confiança
e erro amostral máximo de (ou seja, margem de erro ). Se não for suficiente, determinar o tamanho de amostra necessário.
O enunciado pede:
(a) construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados com de confiança;
(b) verificar se é suficiente para obter um IC de
com
para a proporção adequada; caso contrário, dizer qual
seria necessário.
(a) construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados com
(b) verificar se
Passo 2
Calcular a proporção amostral de chips adequados (vou explicar o que isso significa e como calcular).
- Na amostra de
, o número de chips não adequados é . Então o número de chips adequados na amostra é . - A proporção amostral de adequados é
Explicação didática:
é a melhor estimativa pontual que a amostra dá para a proporção verdadeira
na população. Aqui significa que, na amostra,
dos chips são adequados.
Passo 3
Como construir um intervalo de confiança para proporção — teoria e fórmula (passo a passo, sem pular etapas).
- Para proporções grandes o procedimento clássico usa a aproximação normal: a distribuição amostral de
tem média e variância (quando é grande). Como não conhecemos , usamos para estimar a variância. - O erro padrão (desvio padrão da estimativa) é estimado por
Aqui
é a proporção amostral,
é o tamanho da amostra.
- Um intervalo de confiança bilateral para
com nível de confiança é dado por
onde
é o quantil da distribuição normal padrão correspondente (por exemplo, para
temos
).
- Condição de validade: é recomendado que
e para que a aproximação normal seja razoável. Vamos checar:
logo a aproximação é aceitável.
- Observação sobre correção por população finita (FPC): se a amostra não for desprezível em relação à população (regra comum: se
), deve-se multiplicar o erro padrão por
Aqui
, muito menor que
, então a FPC é praticamente
e pode ser desprezada (vou mostrar o cálculo numérico na próxima etapa).
Passo 4
Aplicar as fórmulas numéricas ao item (a) (calcular erro padrão, margem e intervalo).
- Primeiro calculo o erro padrão:
- Para confirmar que a FPC é desprezível, calculemos:
ou seja, efeito desprezível (reduz o SE em apenas 0,04%).
- Nível de confiança
: . - Margem de erro:
- Intervalo de confiança para a proporção de adequados:
Isso dá os limites
Explicação prática: com
de confiança, a verdadeira proporção de chips adequados na fábrica está aproximadamente entre
e
.
Passo 5
Passo a passo do item (b): explicar a fórmula do tamanho de amostra necessária para uma margem de erro desejada.
- Quando se quer garantir uma margem de erro máxima
para um IC bilateral com nível , a fórmula (sem ainda considerar população finita) para proporção é
onde
é um palpite da proporção verdadeira. Se não se conhece
, usa-se
que maximiza
e dá o tamanho conservador máximo. Se já se tem uma amostra, pode-se usar
para um cálculo menos conservador.
- Depois, se a população não é extremamente grande, aplica-se a correção por população finita:
- Variáveis explicadas:
-
: quantil da normal padrão (por exemplo, para de confiança, ). -
: margem de erro desejada (aqui ). -
: proporção usada no cálculo (aqui podemos usar obtida na amostra).
-
Passo 6
Calcular
usando a estimativa amostral
e confiança de
(aplicando explicações do passo anterior).
- Para
de confiança, . - Calcular
:
- Primeiro
. Então numerador:
- Dividindo por
:
- Aplicar correção por população finita:
- Como tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir que a margem de erro não seja ultrapassada, arredonda-se para cima:
Passo 7
Comparação e conclusão para o item (b) (interpretação final e alternativa conservadora).
- A amostra atual é
. O tamanho necessário calculado para garantir margem de erro ao nível de (usando ) é aproximadamente . - Portanto,
NÃO é suficiente para atingir esse nível de precisão e confiança. - Observação adicional (útil na prova): se não tivéssemos nenhum palpite sobre
e quiséssemos um valor conservador máximo, usaríamos , o que daria um muito maior (ordem de antes de correção) e um após correção em torno de . Ou seja, a escolha de faz grande diferença; usar quando disponível reduz muito o requerido.
Resposta
(a)
(b) Não, a amostra de
é insuficiente; tamanho necessário aproximado
.