Uma unidade fabril da Intel produziu 500.000 chips Pentium IV em certo período. São selecionados, aleatoriamente, 400 chips para testes.
a) Supondo que 20 chips não tenham a velocidade de processamento adequada, construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados. Use nível de confiança de 95%.
b) Verificar se essa amostra é suficiente para obter um intervalo de 99% de confiança, com erro amostral máximo de 0,5 \%, para a proporção de chips adequados. Caso contrário, qual deveria ser o tamanho da amostra?

Passo 1

Vamos listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (tudo que vem do enunciado):
  • População (total de chips produzidos): N=500000.
  • Tamanho da amostra selecionada: n=400.
  • Na amostra, 20 chips não têm velocidade adequada (peguei esse número do enunciado).
  • Nível de confiança pedido no item (a): 95\%.
  • No item (b) pede verificar se a amostra atual é suficiente para um intervalo com nível de confiança 99\% e erro amostral máximo de 0,5\% (ou seja, margem de erro E=0,5\%=0,005). Se não for suficiente, determinar o tamanho de amostra necessário.
O enunciado pede:
(a) construir o intervalo de confiança para a proporção de chips adequados com 95\% de confiança;
(b) verificar se n=400 é suficiente para obter um IC de 99\% com E=0,005 para a proporção adequada; caso contrário, dizer qual n seria necessário.

Passo 2

Calcular a proporção amostral de chips adequados (vou explicar o que isso significa e como calcular).
  • Na amostra de n=400, o número de chips não adequados é 20. Então o número de chips adequados na amostra é 400-20=380.
  • A proporção amostral de adequados é
\hat{p}=\frac{\text{nº adequados}}{n}=\frac{380}{400}=0,95.º
Explicação didática: \hat{p} é a melhor estimativa pontual que a amostra dá para a proporção verdadeira p na população. Aqui significa que, na amostra, 95\% dos chips são adequados.

Passo 3

Como construir um intervalo de confiança para proporção — teoria e fórmula (passo a passo, sem pular etapas).
  • Para proporções grandes o procedimento clássico usa a aproximação normal: a distribuição amostral de \hat{p} tem média p e variância p(1-p)/n (quando n é grande). Como não conhecemos p, usamos \hat{p} para estimar a variância.
  • O erro padrão (desvio padrão da estimativa) é estimado por
\text{SE}(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.
Aqui \hat{p} é a proporção amostral, n é o tamanho da amostra.
  • Um intervalo de confiança bilateral para p com nível de confiança 1-\alpha é dado por
\hat{p}\pm z_{1-\alpha/2}\cdot\text{SE}(\hat{p}),
onde z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão correspondente (por exemplo, para 95\% temos z_{0,975}=1,96).
  • Condição de validade: é recomendado que n\hat{p}\ge 5 e n(1-\hat{p})\ge 5 para que a aproximação normal seja razoável. Vamos checar:
n\hat{p}=400\cdot0,95=380\ge5,\qquad n(1-\hat{p})=400\cdot0,05=20\ge5,
logo a aproximação é aceitável.
  • Observação sobre correção por população finita (FPC): se a amostra não for desprezível em relação à população (regra comum: se n/N>0,05), deve-se multiplicar o erro padrão por
\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}.
Aqui n/N=400/500000=0,0008, muito menor que 0,05, então a FPC é praticamente 1 e pode ser desprezada (vou mostrar o cálculo numérico na próxima etapa).

Passo 4

Aplicar as fórmulas numéricas ao item (a) (calcular erro padrão, margem e intervalo).
  • Primeiro calculo o erro padrão:
\text{SE}(\hat{p})=\sqrt{\dfrac{0,95(1-0,95)}{400}}=\sqrt{\dfrac{0,95\cdot0,05}{400}}=\sqrt{\dfrac{0,0475}{400}}=\sqrt{0,00011875}\approx0,010896.
  • Para confirmar que a FPC é desprezível, calculemos:
\sqrt{\dfrac{N-n}{N-1}}=\sqrt{\dfrac{500000-400}{500000-1}}=\sqrt{\dfrac{499600}{499999}}\approx0,99960\approx1{,}
ou seja, efeito desprezível (reduz o SE em apenas 0,04%).
  • Nível de confiança 95\%: z_{0,975}=1,96.
  • Margem de erro:
\text{ME}=z_{0,975}\cdot\text{SE}(\hat{p})=1,96\cdot0,010896\approx0,021354.
  • Intervalo de confiança para a proporção de adequados:
\hat{p}\pm\text{ME}=0,95\pm0,021354.
Isso dá os limites
\text{limite inferior}=0,95-0,021354\approx0,928646\approx0,9286,
\text{limite superior}=0,95+0,021354\approx0,971354\approx0,9714.
Explicação prática: com 95\% de confiança, a verdadeira proporção de chips adequados na fábrica está aproximadamente entre 92,86\% e 97,14\%.

Passo 5

Passo a passo do item (b): explicar a fórmula do tamanho de amostra necessária para uma margem de erro desejada.
  • Quando se quer garantir uma margem de erro máxima E para um IC bilateral com nível 1-\alpha, a fórmula (sem ainda considerar população finita) para proporção é
n_0=\dfrac{z_{1-\alpha/2}^2\;p^*(1-p^*)}{E^2},
onde p^* é um palpite da proporção verdadeira. Se não se conhece p, usa-se p^*=0{,}5 que maximiza p(1-p) e dá o tamanho conservador máximo. Se já se tem uma amostra, pode-se usar \hat{p} para um cálculo menos conservador.
  • Depois, se a população não é extremamente grande, aplica-se a correção por população finita:
n=\frac{n_0}{1+\dfrac{n_0-1}{N}}.
  • Variáveis explicadas:
    • z_{1-\alpha/2}: quantil da normal padrão (por exemplo, para 99\% de confiança, z_{0,995}\approx2,576).
    • E: margem de erro desejada (aqui E=0,5\%=0,005).
    • p^*: proporção usada no cálculo (aqui podemos usar \hat{p}=0,95 obtida na amostra).

Passo 6

Calcular n usando a estimativa amostral \hat{p}=0,95 e confiança de 99\% (aplicando explicações do passo anterior).
  • Para 99\% de confiança, z_{0,995}\approx2,576.
  • Calcular n_0:
n_0=\dfrac{2{,}576^2\cdot0{,}95\cdot(1-0{,}95)}{0{,}005^2}=\dfrac{2{,}576^2\cdot0{,}95\cdot0{,}05}{0{,}000025}.
  • Primeiro 2{,}576^2\approx6{,}6358. Então numerador:
6{,}6358\cdot0{,}0475\approx0{,}31520.
  • Dividindo por 0{,}000025:
n_0\approx\dfrac{0{,}31520}{0{,}000025}\approx12607{,}98.
  • Aplicar correção por população finita:
n=\frac{n_0}{1+\dfrac{n_0-1}{N}}=\frac{12607{,}98}{1+\dfrac{12606{,}98}{500000}}\approx\frac{12607{,}98}{1{,}02521398}\approx12299{,}39.
  • Como tamanho de amostra deve ser inteiro e para garantir que a margem de erro não seja ultrapassada, arredonda-se para cima:
n=12300.

Passo 7

Comparação e conclusão para o item (b) (interpretação final e alternativa conservadora).
  • A amostra atual é n=400. O tamanho necessário calculado para garantir margem de erro E=0,005 ao nível de 99\% (usando \hat{p}=0,95) é aproximadamente n=12300.
  • Portanto, n=400 NÃO é suficiente para atingir esse nível de precisão e confiança.
  • Observação adicional (útil na prova): se não tivéssemos nenhum palpite sobre p e quiséssemos um valor conservador máximo, usaríamos p^*=0{,}5, o que daria um n_0 muito maior (ordem de 66{,}350 antes de correção) e um n após correção em torno de 58{,}560. Ou seja, a escolha de p^* faz grande diferença; usar \hat{p} quando disponível reduz muito o n requerido.

Resposta

(a) \bigl(0,9286;\;0,9714\bigr)
(b) Não, a amostra de n=400 é insuficiente; tamanho necessário aproximado n=12300.

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