Uma empresa fabricante de pastilhas para freios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Supondo que 1% das pastilhas fabricadas pelo processo atual apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste, qual é a probabilidade, em uma amostra aleatória simples com 10.000 pastilhas, de serem encontradas 85 ou menos pastilhas com problemas?

Passo 1

O enunciado pede: qual é a probabilidade de, numa amostra aleatória simples de 10\,000 pastilhas, serem encontradas 85 ou menos pastilhas com desempenho deficiente, sabendo que a taxa verdadeira de defeito é 1\%.
Informações dadas:
  • Tamanho da amostra: n = 10\,000.
  • Probabilidade de defeito por pastilha: p = 0,01.
  • Evento de interesse: número de pastilhas defeituosas X \le 85.

Passo 2

Modelagem e escolha do método (explicando o porquê).
O número de pastilhas defeituosas em uma amostra de tamanho n segue uma distribuição binomial:
X \sim \mathrm{Bin}(n,p).
Aqui temos n grande ( 10\,000) e p pequeno ( 0,01), portanto a distribuição binomial tem média e variância grandes o suficiente para aplicarmos a aproximação normal (Teorema do Limite Central / aproximação de De Moivre–Laplace). A aproximação normal é mais prática do que calcular a soma de probabilidades binomiais exatas sem calculadora.
Além disso, quando usamos a aproximação normal para uma variável discreta X usamos a correção de continuidade para aumentar a precisão: para P(X \le k) aproximamos por P\big(Y \le k+0,5\big) onde Y é a normal aproximante.

Passo 3

Cálculo da média e da variância da binomial (passo-a-passo didático).
Para X \sim \mathrm{Bin}(n,p) vale:
\text{média } \mu = \mathbb{E}[X] = n p, \qquad \text{variância } \sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = n p (1-p).éâ
Substituindo os valores dados:
\mu = 10\,000 \times 0,01 = 100,
\sigma^2 = 10\,000 \times 0,01 \times (1-0,01) = 10\,000 \times 0,01 \times 0,99 = 99.
O desvio padrão é
\sigma = \sqrt{99}\approx 9,949874\ldots

Passo 4

Configurar a aproximação normal com correção de continuidade.
Queremos P(X \le 85). Aplicando correção de continuidade, aproximamos por
P(X \le 85) \approx P\big(Y \le 85,5\big),
onde Y é a normal aproximante Y \sim N(\mu,\sigma^2)=N(100,99).
Convertendo para a variável padrão Z\sim N(0,1):
Z = \frac{Y-\mu}{\sigma},
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P\big(Y \le 85,5\big) = P\!\left(Z \le \frac{85,5-100}{\sqrt{99}}\right).

Passo 5

Cálculo do valor de z (mostrando conta).
Compute o numerador e o denominador separadamente:
85,5-100 = -14,5.
\sqrt{99}\approx 9,949874.
Portanto
z = \frac{-14,5}{9,949874}\approx -1,457.

Passo 6

Converter z em probabilidade usando a tabela da normal padrão (explicando a tabela e interpolação).
A tabela da normal padrão fornece \Phi(t)=P(Z\le t) para Z\sim N(0,1). Como queremos P(Z\le -1,457), usamos a simetria:
P(Z\le -1,457)=1-\Phi(1,457).
Consultando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), encontramos valores próximos:
\Phi(1,45)\approx 0,9265 e \Phi(1,46)\approx 0,9279. Interpolando para 1,457 (isto é, 0,007 do caminho de 1,45 a 1,46) obtemos aproximadamente
\Phi(1,457)\approx 0,9275.
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P(Z\le -1,457)\approx 1-0,9275 = 0,0725.

Passo 7

Interpretação final e checagem rápida.
O resultado 0,0725 significa que há aproximadamente 7,25\% de chance de, em uma amostra de 10\,000 pastilhas com taxa verdadeira de defeito 1\%, encontrar 85 ou menos pastilhas defeituosas. Essa aproximação via normal com correção de continuidade é adequada aqui; uma aproximação por Poisson com \lambda=100 daria valor muito semelhante, porque as médias coincidem e as variâncias são próximas.

Resposta

0,0725 (aproximadamente 7,25\%).

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