Uma empresa fabricante de pastilhas para freios efetua um teste para controle de qualidade de seus produtos. Supondo que 1% das pastilhas fabricadas pelo processo atual apresenta desempenho deficiente quanto ao nível de desgaste, qual é a probabilidade, em uma amostra aleatória simples com 10.000 pastilhas, de serem encontradas 85 ou menos pastilhas com problemas?
Passo 1
O enunciado pede: qual é a probabilidade de, numa amostra aleatória simples de
pastilhas, serem encontradas
ou menos pastilhas com desempenho deficiente, sabendo que a taxa verdadeira de defeito é
.
Informações dadas:
- Tamanho da amostra:
. - Probabilidade de defeito por pastilha:
. - Evento de interesse: número de pastilhas defeituosas
.
Passo 2
Modelagem e escolha do método (explicando o porquê).
O número de pastilhas defeituosas em uma amostra de tamanho segue uma distribuição binomial:
O número de pastilhas defeituosas em uma amostra de tamanho
Aqui temos
grande (
) e
pequeno (
), portanto a distribuição binomial tem média e variância grandes o suficiente para aplicarmos a aproximação normal (Teorema do Limite Central / aproximação de De Moivre–Laplace). A aproximação normal é mais prática do que calcular a soma de probabilidades binomiais exatas sem calculadora.
Além disso, quando usamos a aproximação normal para uma variável discreta
usamos a correção de continuidade para aumentar a precisão: para
aproximamos por
onde
é a normal aproximante.
Passo 3
Cálculo da média e da variância da binomial (passo-a-passo didático).
Para vale:
Para
Substituindo os valores dados:
O desvio padrão é
Passo 4
Configurar a aproximação normal com correção de continuidade.
Queremos . Aplicando correção de continuidade, aproximamos por
Queremos
onde
é a normal aproximante
.
Convertendo para a variável padrão
:
logo
Passo 5
Cálculo do valor de
(mostrando conta).
Compute o numerador e o denominador separadamente:
Compute o numerador e o denominador separadamente:
Portanto
Passo 6
Converter
em probabilidade usando a tabela da normal padrão (explicando a tabela e interpolação).
A tabela da normal padrão fornece para
. Como queremos
, usamos a simetria:
A tabela da normal padrão fornece
Consultando uma tabela da normal padrão (ou calculadora), encontramos valores próximos:
e
. Interpolando para
(isto é, 0,007 do caminho de 1,45 a 1,46) obtemos aproximadamente
Logo
Passo 7
Interpretação final e checagem rápida.
O resultado significa que há aproximadamente
de chance de, em uma amostra de
pastilhas com taxa verdadeira de defeito
, encontrar
ou menos pastilhas defeituosas. Essa aproximação via normal com correção de continuidade é adequada aqui; uma aproximação por Poisson com
daria valor muito semelhante, porque as médias coincidem e as variâncias são próximas.
O resultado