O número de eixos incluídos em uma caixa é controlado pela massa total da embalagem, sendo necessário conhecer variância da massa dos eixos produzidos para que este controle seja efetivo (a massa da caixa pode ser considerada constante).
A equipe de engenharia selecionou uma amostra piloto de uma nova linha de eixos para estimar a variância.
Construa um Intervalo de Confiança, com \gamma=95 \%, para a variância da massa dos eixos com base nesta amostra piloto.
Para que o controle seja efetivo é importante que o desvio padrão das massas dos parafusos seja inferior a 2 g . Pelo intervalo de confiança gerado, este processo pode atender esta condição?
boldsymbol{x} [g]
133
132
137
135
133
136
137
140
130
137
135

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Construir um intervalo de confiança com nível de confiança \gamma=95\% para a variância da massa dos eixos.
  • A partir desse intervalo, decidir se o processo atende à condição de que o desvio padrão seja inferior a 2\\ \text{g}.
Dados fornecidos (amostra piloto, extraída da tabela do enunciado):
133,\;132,\;137,\;135,\;133,\;136,\;137,\;140,\;130,\;137,\;135
Vou usar esses 11 valores como a amostra para construir o intervalo.

Passo 2

Contar observações e calcular a média amostral.
  • Tamanho da amostra: n=11.
  • Soma dos valores da amostra (peguei cada número da tabela do enunciado):
\sum_{i=1}^{11} x_i = 133+132+137+135+133+136+137+140+130+137+135 = 1485.
  • Média amostral \bar{x} é a soma dividida por n:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1485}{11}=135.
Observação: a média ficou exatamente \bar{x}=135\\ \text{g}.

Passo 3

Explicar a fórmula da variância amostral e como calculá-la passo a passo.
  • Definição (fórmula usada na prática): a variância amostral com correção de Bessel é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}.
Aqui cada termo x_i-\bar{x} é a diferença entre a observação e a média; elevando ao quadrado obtemos a contribuição ao espalhamento; somando e dividindo por n-1 obtemos uma estimativa imparcial da variância populacional \sigma^{2}.
  • Vou calcular cada desvio e seu quadrado (mostrando resumidamente):
\begin{array}{l} 133-135=-2 \Rightarrow (-2)^{2}=4,\\\\ 132-135=-3 \Rightarrow 9,\\\\ 137-135=2 \Rightarrow 4,\\\\ 135-135=0 \Rightarrow 0,\\\\ 133-135=-2 \Rightarrow 4,\\\\ 136-135=1 \Rightarrow 1,\\\\ 137-135=2 \Rightarrow 4,\\\\ 140-135=5 \Rightarrow 25,\\\\ 130-135=-5 \Rightarrow 25,\\\\ 137-135=2 \Rightarrow 4,\\\\ 135-135=0 \Rightarrow 0. \end{array}
  • Soma dos quadrados dos desvios (peguei os termos acima):
\sum_{i=1}^{11}(x_i-\bar{x})^{2}=4+9+4+0+4+1+4+25+25+4+0=80.

Passo 4

Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral.
  • Variância amostral:
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^{2}=\frac{80}{11-1}=\frac{80}{10}=8\\ \text{g}^{2}.
  • Desvio padrão amostral:
s=\sqrt{s^{2}}=\sqrt{8}\approx 2{,}828\\ \text{g}.
Comentário: o desvio amostral é aproximadamente 2{,}83\\ \text{g}, maior que 2\\ \text{g}, mas precisamos da inferência estatística (intervalo) para decidir sobre o processo populacional.

Passo 5

Apresentar e justificar a fórmula do intervalo de confiança para a variância usando a distribuição qui-quadrado.
  • Teoria essencial (explicada de forma direta): para uma amostra de tamanho n de uma população normal (ou aproximadamente normal), a estatística
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
tem distribuição \chi^{2} com n-1 graus de liberdade. A partir dessa propriedade obtém-se o intervalo de confiança de nível 1-\alpha para \sigma^{2}:
\left[\;\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;n-1}}\;,\;\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;n-1}}\;\right].
Aqui:
  • \sigma^{2} é a variância populacional desconhecida;
  • s^{2} é a variância da amostra calculada;
  • \chi^{2}_{p,\nu} é o quantil da distribuição qui-quadrado com \nu graus de liberdade, tal que P(\chi^{2}_{\nu}\le \chi^{2}_{p,\nu})=p;
  • \alpha é o nível de significância (para \gamma=95\% temos \alpha=0{,}05).
Obs.: a razão dos termos (n-1)s^{2}/\chi^{2} vem da inversão dos limites de probabilidade da distribuição qui-quadrado; a desigualdade no denominador inverte a ordem por causa do comportamento da probabilidade acumulada.

Passo 6

Aplicar a fórmula com os números da amostra e os quantis da qui-quadrado (peguei os quantis em tabela de \chi^{2}).
  • Parâmetros:
n=11\quad\Rightarrow\quad \text{graus de liberdade } \nu=n-1=10, \qquad \alpha=0{,}05.
  • Quantis necessários (obtidos em tabela de \chi^{2} para \nu=10):
\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;10}=\chi^{2}_{0{,}975,\;10}\approx 20{,}483,
\chi^{2}_{\alpha/2,\;10}=\chi^{2}_{0{,}025,\;10}\approx 3{,}247.
(Esses valores são os quantis onde a probabilidade acumulada é 0{,}975 e 0{,}025, respectivamente.)
  • Aplicando a fórmula do intervalo para \sigma^{2} (usando (n-1)s^{2}=10\cdot 8=80):
\text{limite inferior}=\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0{,}975,10}}=\frac{80}{20{,}483}\approx 3{,}906\\ \text{g}^{2},
\text{limite superior}=\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{0{,}025,10}}=\frac{80}{3{,}247}\approx 24{,}654\\ \text{g}^{2}.
Portanto, um intervalo de confiança de 95\% para a variância é aproximadamente
\bigl[\,3{,}906\;;\;24{,}654\,\bigr]\\ \text{g}^{2}.

Passo 7

Transformar o intervalo para a variância em um intervalo para o desvio padrão \sigma (às vezes mais intuitivo).
  • Tomando raiz quadrada nos extremos:
\sqrt{3{,}906}\approx 1{,}98\\ \text{g}, \qquad \sqrt{24{,}654}\approx 4{,}97\\ \text{g}.
Assim, o intervalo de confiança de 95\% para o desvio padrão é aproximadamente
\bigl[\,1{,}98\;;\;4{,}97\,\bigr]\\ \text{g}.

Passo 8

Interpretar o resultado em relação à condição do enunciado ( \sigma<2\\ \text{g}).
  • A condição desejada é que o desvio padrão populacional seja inferior a 2\\ \text{g}.
  • O intervalo de confiança para \sigma contém valores menores e maiores que 2\\ \text{g}: o limite inferior é cerca de 1{,}98\\ \text{g} (ligeiramente abaixo de 2), mas o limite superior é cerca de 4{,}97\\ \text{g} (muito acima de 2).
  • Conclusão prática: com 95\% de confiança não se pode afirmar que \sigma<2\\ \text{g}; o intervalo indica que a verdadeira dispersão pode ser maior que 2\\ \text{g}. Portanto, com os dados desta amostra piloto, o controle não pode ser declarado eficaz quanto a essa condição (não há evidência suficiente para garantir \sigma<2\\ \text{g}).

Resposta

Intervalo de confiança para a variância ( 95\%): \bigl[3{,}906\;;\;24{,}654\bigr]\\ \text{g}^{2}.
O processo atende à condição \sigma<2\\ \text{g}? Não — o intervalo de confiança para o desvio padrão é \bigl[1{,}98\;;\;4{,}97\bigr]\\ \text{g}, que inclui valores maiores que 2\\ \text{g}.

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