O número de eixos incluídos em uma caixa é controlado pela massa total da embalagem, sendo necessário conhecer variância da massa dos eixos produzidos para que este controle seja efetivo (a massa da caixa pode ser considerada constante).
A equipe de engenharia selecionou uma amostra piloto de uma nova linha de eixos para estimar a variância.
Construa um Intervalo de Confiança, com
, para a variância da massa dos eixos com base nesta amostra piloto.
Para que o controle seja efetivo é importante que o desvio padrão das massas dos parafusos seja inferior a 2 g . Pelo intervalo de confiança gerado, este processo pode atender esta condição?
[g]
133
132
137
135
133
136
137
140
130
137
135
|
|
| 133 |
| 132 |
| 137 |
| 135 |
| 133 |
| 136 |
| 137 |
| 140 |
| 130 |
| 137 |
| 135 |
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Construir um intervalo de confiança com nível de confiança
para a variância da massa dos eixos. - A partir desse intervalo, decidir se o processo atende à condição de que o desvio padrão seja inferior a
.
Dados fornecidos (amostra piloto, extraída da tabela do enunciado):
Vou usar esses
valores como a amostra para construir o intervalo.
Passo 2
Contar observações e calcular a média amostral.
-
Tamanho da amostra:
. -
Soma dos valores da amostra (peguei cada número da tabela do enunciado):
- Média amostral
é a soma dividida por :
Observação: a média ficou exatamente
.
Passo 3
Explicar a fórmula da variância amostral e como calculá-la passo a passo.
- Definição (fórmula usada na prática): a variância amostral com correção de Bessel é
Aqui cada termo
é a diferença entre a observação e a média; elevando ao quadrado obtemos a contribuição ao espalhamento; somando e dividindo por
obtemos uma estimativa imparcial da variância populacional
.
- Vou calcular cada desvio e seu quadrado (mostrando resumidamente):
- Soma dos quadrados dos desvios (peguei os termos acima):
Passo 4
Calcular a variância amostral e o desvio padrão amostral.
- Variância amostral:
- Desvio padrão amostral:
Comentário: o desvio amostral é aproximadamente
, maior que
, mas precisamos da inferência estatística (intervalo) para decidir sobre o processo populacional.
Passo 5
Apresentar e justificar a fórmula do intervalo de confiança para a variância usando a distribuição qui-quadrado.
- Teoria essencial (explicada de forma direta): para uma amostra de tamanho
de uma população normal (ou aproximadamente normal), a estatística
tem distribuição
com
graus de liberdade. A partir dessa propriedade obtém-se o intervalo de confiança de nível
para
:
Aqui:
-
é a variância populacional desconhecida; -
é a variância da amostra calculada; -
é o quantil da distribuição qui-quadrado com graus de liberdade, tal que ; -
é o nível de significância (para temos ).
Obs.: a razão dos termos
vem da inversão dos limites de probabilidade da distribuição qui-quadrado; a desigualdade no denominador inverte a ordem por causa do comportamento da probabilidade acumulada.
Passo 6
Aplicar a fórmula com os números da amostra e os quantis da qui-quadrado (peguei os quantis em tabela de
).
- Parâmetros:
- Quantis necessários (obtidos em tabela de
para ):
(Esses valores são os quantis onde a probabilidade acumulada é
e
, respectivamente.)
- Aplicando a fórmula do intervalo para
(usando ):
Portanto, um intervalo de confiança de
para a variância é aproximadamente
Passo 7
Transformar o intervalo para a variância em um intervalo para o desvio padrão
(às vezes mais intuitivo).
- Tomando raiz quadrada nos extremos:
Assim, o intervalo de confiança de
para o desvio padrão é aproximadamente
Passo 8
Interpretar o resultado em relação à condição do enunciado (
).
- A condição desejada é que o desvio padrão populacional seja inferior a
. - O intervalo de confiança para
contém valores menores e maiores que : o limite inferior é cerca de (ligeiramente abaixo de ), mas o limite superior é cerca de (muito acima de ). - Conclusão prática: com
de confiança não se pode afirmar que ; o intervalo indica que a verdadeira dispersão pode ser maior que . Portanto, com os dados desta amostra piloto, o controle não pode ser declarado eficaz quanto a essa condição (não há evidência suficiente para garantir ).
Resposta
Intervalo de confiança para a variância (
):
O processo atende à condição ? Não — o intervalo de confiança para o desvio padrão é
, que inclui valores maiores que
.
O processo atende à condição