Se a unidade imaginária i é raiz do polinômio p(x)=(x^2-1)(x^2+b x+c)+x, em que b e c são números reais, então, a soma das raízes de p(x) é igual a
c) 12

Passo 1

O enunciado dá o polinômio
p(x) = (x^2 - 1)(x^2 + b x + c) + x
com b,cinR e afirma que i é raiz. Queremos usar essa condição para determinar b e c e, em seguida, aplicar a fórmula de Viète para obter a soma de todas as raízes de p(x).

Passo 2

Vamos expandir p(x) para identificar seu coeficiente de x^3.
(x^2 - 1)(x^2 + b x + c) = x^4 + b x^3 + c x^2 - x^2 - b x - c = x^4 + b x^3 + (c-1)x^2 - b x - c
Então
p(x) = x^4 + b x^3 + (c-1)x^2 - b x - c + x = x^4 + b x^3 + (c-1)x^2 + (1 - b)x - c

Passo 3

Como i é raiz e os coeficientes são reais, também -i é raiz, mas basta impor
p(i)=0
Calculamos
p(i) = i^4 + b,i^3 + (c-1)i^2 + (1 - b)i - c = 1 - b,i + (c-1)(-1) + (1-b)i - c
Separate em partes real e imaginária:
real: 1 - (c-1) - c = 2 - 2c,
imaginário: (-b + 1 - b)i = (1 - 2b)i.
Para anular p(i) precisamos
2 - 2c = 0, 1 - 2b = 0 Longrightarrow c = 1,;b = tfrac12

Passo 4

Pelo teorema de Viète, num polinômio monico
x^4 + b x^3 + cdots = 0
a soma de todas as raízes vale -b. Como b=tfrac12, segue
soma das raízes = -,tfrac12 = -tfrac12 í

Resposta

-tfrac12

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