Faça a transformação conveniente e use o limite fundamental, lim t 0 sen tt=1, para calcular os limites abaixo.
lim x 1 sen(pi x)x-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto1sin(pi x)x-1
usando o limite fundamental
limtto0sin tt=1

Passo 2

Fazemos a mudança de variável
t = x - 1,
de modo que, quando xto1, temos tto0 e x = 1 + t. Assim
sin(pi x)x-1 = sinl(pi(1+t)r)t

Passo 3

Usamos a identidade trigonométrica
sinl(pi(1+t)r) = sin(pi + pi t) = -sin(pi t)
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sin(pi(1+t))t = -sin(pi t)t = -sin(pi t)t

Passo 4

Reescrevemos para aplicar o limite fundamental:
-sin(pi t)t = -pi;sin(pi t)pi t
Tomando tto0,
limtto0-pi;sin(pi t)pi t = -picdotlimtto0sin(pi t)pi t = -picdot1 = -pi

Resposta

-pi

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