Qual a unidade da resistência elétrica e da condutividade?

Passo 1

O enunciado pergunta claramente: “Qual a unidade da resistência elétrica e da condutividade?”.
Não há outros dados fornecidos pelo enunciado. Vou então identificar o que cada uma dessas grandezas representa e deduzir a unidade no Sistema Internacional (SI).

Passo 2

Definição e relação básica da resistência elétrica: a resistência R é a grandeza que relaciona a diferença de potencial elétrico V à corrente elétrica I por meio da Lei de Ohm (quando válida):
V = I\,R.
Dessa equação isolamos R:
R = \frac{V}{I}.
Logo, a unidade de resistência é a unidade de tensão dividida pela unidade de corrente. No SI a unidade de tensão é o volt e a da corrente é o ampere, portanto a unidade de resistência é o ohm, simbolizado por \Omega, onde
1\\ \Omega = \frac{1\\ \mathrm{V}}{1\\ \mathrm{A}}.

Passo 3

Expressando o ohm em unidades base do SI: lembre que o volt é
1\\ \mathrm{V} = 1\\ \frac{\mathrm{W}}{\mathrm{A}} = 1\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{C}} = 1\\ \frac{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3\,\mathrm{A}}.
Então
1\\ \Omega = \frac{1\\ \mathrm{V}}{1\\ \mathrm{A}} = \frac{1\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3\,\mathrm{A}^2}.
Portanto a unidade de resistência em unidades base é
\Omega = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3}\,\mathrm{A}^{-2}.

Passo 4

Definição e relação básica da condutividade elétrica: a condutividade elétrica \sigma é a grandeza que mede a facilidade com que um material conduz corrente. Ela é o inverso da resistividade \rho:
\sigma = \frac{1}{\rho}.
Também aparece na relação entre condutância G de um condutor, sua área transversal A e seu comprimento L:
G = \frac{\sigma A}{L}.
Como condutância G tem unidade de siemens \mathrm{S} e G=1/R, a unidade de condutividade é siemens por metro:
[\sigma] = \mathrm{S\cdot m^{-1}}.
Observação: \mathrm{S}=\Omega^{-1}, então também se pode escrever
[\sigma] = \Omega^{-1}\,\mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Expressando \mathrm{S\cdot m^{-1}} nas unidades base do SI: como \mathrm{S}=\mathrm{A}/\mathrm{V} e já vimos que \mathrm{V}=\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3}\,\mathrm{A}^{-1}, temos
1\\ \mathrm{S} = \frac{1\\ \mathrm{A}}{1\\ \mathrm{V}} = \frac{1\\ \mathrm{A}^2\,\mathrm{s}^3}{1\\ \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2}.
Multiplicando por \mathrm{m^{-1}} para obter \mathrm{S\cdot m^{-1}},
[\sigma] = \mathrm{S\cdot m^{-1}} = \mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^3\,\mathrm{A}^2.

Passo 6

Verificação dimensional com a fórmula de resistência de um corpo homogêneo: para um fio de comprimento L e área da seção transversal A com resistividade \rho,
R = \rho\,\frac{L}{A}.
Invertendo,
\sigma = \frac{1}{\rho} = \frac{L}{R\,A}.
Checando unidades: [R]=\Omega, [L]=\mathrm{m}, [A]=\mathrm{m}^2, então
[\sigma]=\frac{\mathrm{m}}{\Omega\cdot \mathrm{m}^2}=\Omega^{-1}\,\mathrm{m}^{-1},
compatível com o que já obtivemos. Isso confirma que as unidades estão consistentes.

Passo 7

Dica rápida de prova (ânimo!): memorizando as equivalências chave você sai bem na questão:
  • \;R tem unidade \;1\\ \Omega = 1\\ \mathrm{V}/\mathrm{A}.
  • \;\sigma tem unidade \;1\\ \mathrm{S\,m^{-1}} = 1\\ \Omega^{-1}\mathrm{m^{-1}}.
    E lembre que \sigma=1/\rho e R=\rho L/A para ligar geometria e propriedades do material.

Resposta

Resistência: \Omega (ohm), com \;1\\ \Omega = 1\\ \mathrm{V}/\mathrm{A} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}^2\,\mathrm{s}^{-3}\,\mathrm{A}^{-2}.
Condutividade: \mathrm{S\,m^{-1}} (siemens por metro), com \;1\\ \mathrm{S\,m^{-1}} = 1\\ \Omega^{-1}\mathrm{m}^{-1} = \mathrm{kg}^{-1}\,\mathrm{m}^{-3}\,\mathrm{s}^3\,\mathrm{A}^2.

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