Exercício 4: Encontre a força de atração entre dois fios longos, que carregam correntes
e
. A distância entre os fios é
.
Passo 1
Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):\n
- Dois fios longos e retilíneos, paralelos entre si. \n
- O fio 1 conduz corrente
.\n - O fio 2 conduz corrente
.\n - A distância entre os centros dos fios é
.\n - O que o enunciado pede: encontrar a força de atração entre os fios. \n
Observação importante: se os fios são “infinitamente longos” a força total sobre um fio seria infinita. Por isso é habitual calcular (a) a força sobre um segmento de comprimentodo fio e (b) a força por unidade de comprimento. Vou apresentar ambos.
Passo 2
Campo magnético produzido por um fio longo (revisão e derivação):\n
Para um fio retilíneo e muito longo, por simetria o campo magnético tem direção circular ao redor do fio e módulo que depende só da distância radial
ao fio. Usamos a Lei de Ampère (forma integral):\n
Para um fio retilíneo e muito longo, por simetria o campo magnético
Escolhendo uma circulação circular de raio
centrada no fio,
é tangente à curva e tem módulo constante ao longo dela. Assim\n
e isolando
obtemos a fórmula padrão para o campo magnético de um fio longo:\n
Explicando símbolos:
é a permeabilidade do vácuo (
no SI),
é a corrente que cria o campo, e
é a distância radial ao fio.
Passo 3
Força sobre um condutor com corrente imerso em um campo magnético (revisão):\n
A força magnética sobre um elemento de corrente é dada pela versão em corrente da força de Lorentz. Para um fio retilíneo de comprimento imerso em um campo magnético uniforme
, a magnitude da força é\n
A força magnética sobre um elemento de corrente é dada pela versão em corrente da força de Lorentz. Para um fio retilíneo de comprimento
onde
é a corrente no fio sobre o qual calculamos a força,
é o comprimento do segmento considerado,
é o módulo do campo magnético local e
é o ângulo entre a direção do fio (direção da corrente) e o campo
. No caso de dois fios paralelos, a corrente em cada fio é paralela ao eixo dos fios, enquanto o campo produzido por um fio no local do outro é perpendicular a esse eixo, então
.
Passo 4
Aplicando ao problema: campo do fio 1 no lugar do fio 2 e força sobre um comprimento
do fio 2:\n
- O campo produzido pelo fio 1 à distância
(distância entre fios) é, usando a fórmula do Passo 2,\n
- A força sobre um segmento de comprimento
do fio 2, devido a esse campo, tem magnitude (usando o Passo 3 com ):\n
Substituindo
:\n
Passo 5
Força por unidade de comprimento e forma usual da resposta:\n
Dividindo a expressão do Passo 4 por obtemos a força por unidade de comprimento (quantidade muito usada em exercícios e definições):\n
Dividindo a expressão do Passo 4 por
Observação sobre direção: usando a regra da mão direita ou examinando o produto vetorial, se as correntes têm o mesmo sentido a força é atraente (os fios se atraem); se as correntes têm sentidos opostos a força é repulsiva.
Passo 6
Valor numérico útil (para intuição):\n
Como , a constante
. Assim a força por unidade de comprimento pode ser escrita como\n
Como
Exemplo rápido: para
A e
m,
N/m, ou seja, força muito pequena por metro.