Exercício 4: Encontre a força de atração entre dois fios longos, que carregam correntes I_{1} e I_{2}. A distância entre os fios é d.

Passo 1

Enunciado e dados importantes (o que o problema dá e o que pede):\n
  • Dois fios longos e retilíneos, paralelos entre si. \n
  • O fio 1 conduz corrente \,I_1.\n
  • O fio 2 conduz corrente \,I_2.\n
  • A distância entre os centros dos fios é \,d.\n
  • O que o enunciado pede: encontrar a força de atração entre os fios. \n
    Observação importante: se os fios são “infinitamente longos” a força total sobre um fio seria infinita. Por isso é habitual calcular (a) a força sobre um segmento de comprimento \,L do fio e (b) a força por unidade de comprimento. Vou apresentar ambos.

Passo 2

Campo magnético produzido por um fio longo (revisão e derivação):\n
Para um fio retilíneo e muito longo, por simetria o campo magnético \mathbf{B} tem direção circular ao redor do fio e módulo que depende só da distância radial r ao fio. Usamos a Lei de Ampère (forma integral):\n
\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{\ell}=\mu_0 I_{\text{enc}}\n
Escolhendo uma circulação circular de raio \,r centrada no fio, \mathbf{B} é tangente à curva e tem módulo constante ao longo dela. Assim\n
B(2\pi r)=\mu_0 I\n
e isolando B obtemos a fórmula padrão para o campo magnético de um fio longo:\n
B(r)=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}.\n
Explicando símbolos: \mu_0 é a permeabilidade do vácuo ( \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2} no SI), I é a corrente que cria o campo, e r é a distância radial ao fio.

Passo 3

Força sobre um condutor com corrente imerso em um campo magnético (revisão):\n
A força magnética sobre um elemento de corrente é dada pela versão em corrente da força de Lorentz. Para um fio retilíneo de comprimento \,L imerso em um campo magnético uniforme \mathbf{B}, a magnitude da força é\n
F=I\,L\,B\sin\theta,\n
onde I é a corrente no fio sobre o qual calculamos a força, L é o comprimento do segmento considerado, B é o módulo do campo magnético local e \theta é o ângulo entre a direção do fio (direção da corrente) e o campo \mathbf{B}. No caso de dois fios paralelos, a corrente em cada fio é paralela ao eixo dos fios, enquanto o campo produzido por um fio no local do outro é perpendicular a esse eixo, então \sin\theta=1.

Passo 4

Aplicando ao problema: campo do fio 1 no lugar do fio 2 e força sobre um comprimento L do fio 2:\n
  • O campo produzido pelo fio 1 à distância \,d (distância entre fios) é, usando a fórmula do Passo 2,\n
B_1(d)=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}.\n
  • A força sobre um segmento de comprimento \,L do fio 2, devido a esse campo, tem magnitude (usando o Passo 3 com \sin\theta=1):\n
F = I_2\,L\,B_1(d).\n
Substituindo B_1(d):\n
F = I_2\,L\cdot\frac{\mu_0 I_1}{2\pi d}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\,L.

Passo 5

Força por unidade de comprimento e forma usual da resposta:\n
Dividindo a expressão do Passo 4 por L obtemos a força por unidade de comprimento (quantidade muito usada em exercícios e definições):\n
\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.\n
Observação sobre direção: usando a regra da mão direita ou examinando o produto vetorial, se as correntes têm o mesmo sentido a força é atraente (os fios se atraem); se as correntes têm sentidos opostos a força é repulsiva.

Passo 6

Valor numérico útil (para intuição):\n
Como \mu_0=4\pi\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}, a constante \mu_0/(2\pi)=2\times10^{-7}\,\mathrm{N/A^2}. Assim a força por unidade de comprimento pode ser escrita como\n
\frac{F}{L}=2\times10^{-7}\frac{I_1 I_2}{d}\quad\text{(SI: N/m, }I\text{ em A, }d\text{ em m).}\n
Exemplo rápido: para I_1=I_2=1 A e d=1 m, \,F/L=2\times10^{-7} N/m, ou seja, força muito pequena por metro.

Resposta

F=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\,L\n
\frac{F}{L}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}

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