\int \operatorname{sen} x\left(1+\cos ^{3} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \operatorname{sen} x\left(1+\cos^{3} x\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a ser integrada é \operatorname{sen} x(1+\cos^{3} x).
  • É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva, soma de uma constante C).
  • Não há limites de integração nem outras condições.

Passo 2

Idéia útil (explicação do raciocínio): reparar que dentro do parêntese aparece \cos x e fora aparece \operatorname{sen} x\,dx. Muitas integrais ficam bem simples se fizermos a substituição onde escolhemos como nova variável algo cuja derivada apareça multiplicando. Aqui a derivada de \cos x é -\operatorname{sen} x, então a substituição natural é
u=\cos x.
Agora calculemos o diferencial du. Usando a regra de derivação:
\frac{d}{dx}\cos x=-\operatorname{sen} x,
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du=-\operatorname{sen} x\,dx.
Isolando \operatorname{sen} x\,dx obtemos
\operatorname{sen} x\,dx=-du.
Isso é bom porque permite trocar todo em x por expressões em u.

Passo 3

Fazer a substituição na integral. Começamos com
\int \operatorname{sen} x\left(1+\cos^{3} x\right)\,dx.
Substituindo \cos x=u e \operatorname{sen} x\,dx=-du, obtemos
\int \operatorname{sen} x\left(1+\cos^{3} x\right)\,dx =\int (1+u^{3})(-du) =-\int (1+u^{3})\,du.

Passo 4

Agora integramos um polinómio em u. Lembrete das integrais básicas:
  • \displaystyle \int 1\,du = u + C.
  • \displaystyle \int u^{n}\,du=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C para n\neq-1.
Aplicando ao nosso caso:
-\int (1+u^{3})\,du = -\left(\int 1\,du + \int u^{3}\,du\right) = -\left(u + \frac{u^{4}}{4}\right)+C.

Passo 5

Voltar à variável original x substituindo u=\cos x:
-\left(u + \frac{u^{4}}{4}\right)+C = -\cos x - \frac{\cos^{4} x}{4} + C.
Essa é a primitiva encontrada.

Passo 6

Verificação (sempre bom na prova): derivar a primitiva para conferir que volta à função integranda. Seja
F(x)=-\cos x - \frac{\cos^{4} x}{4}.
Derivando termo a termo:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(-\cos x)=\operatorname{sen} x.
  • Para \displaystyle -\frac{1}{4}\cos^{4} x, usar a regra da cadeia: primeiro a derivada de \cos^{4} x é 4\cos^{3} x\cdot\frac{d}{dx}\cos x=4\cos^{3} x\cdot(-\operatorname{sen} x)=-4\cos^{3} x\,\operatorname{sen} x. Multiplicando por -\tfrac{1}{4} +\cos^{3} x\,\operatorname{sen} x.
    Somando os dois resultados:
F'(x)=\operatorname{sen} x + \cos^{3} x\,\operatorname{sen} x =\operatorname{sen} x\,(1+\cos^{3} x),
que é exatamente a integranda. Pronto — a primitiva está correta.

Passo 7

Observação prática rápida para a prova: quando vir produto do tipo \operatorname{sen} x vezes uma função de \cos x, pense imediatamente em u=\cos x, porque \operatorname{sen} x\,dx é (até sinal) o diferencial de \cos x. Isso transforma integrais trigonométricas em integrais algébricas fáceis de fazer à mão.

Resposta

-\cos x - \dfrac{\cos^{4} x}{4} + C

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