Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a ser integrada é
. - É uma integral indefinida (procura-se uma primitiva, soma de uma constante
). - Não há limites de integração nem outras condições.
Passo 2
Idéia útil (explicação do raciocínio): reparar que dentro do parêntese aparece
e fora aparece
. Muitas integrais ficam bem simples se fizermos a substituição onde escolhemos como nova variável algo cuja derivada apareça multiplicando. Aqui a derivada de
é
, então a substituição natural é
Agora calculemos o diferencial
. Usando a regra de derivação:
logo
Isolando
obtemos
Isso é bom porque permite trocar todo em
por expressões em
.
Passo 3
Fazer a substituição na integral. Começamos com
Substituindo
e
, obtemos
Passo 4
Agora integramos um polinómio em
. Lembrete das integrais básicas:
-
. -
para .
Aplicando ao nosso caso:
Passo 5
Voltar à variável original
substituindo
:
Essa é a primitiva encontrada.
Passo 6
Verificação (sempre bom na prova): derivar a primitiva para conferir que volta à função integranda. Seja
Derivando termo a termo:
-
- Para
, usar a regra da cadeia: primeiro a derivada de é . Multiplicando por dá .
Somando os dois resultados:
que é exatamente a integranda. Pronto — a primitiva está correta.
Passo 7
Observação prática rápida para a prova: quando vir produto do tipo
vezes uma função de
, pense imediatamente em
, porque
é (até sinal) o diferencial de
. Isso transforma integrais trigonométricas em integrais algébricas fáceis de fazer à mão.