Universidade de Brasilia Faculdade de Tecnologia
Mecânica 1
Professor Luis Augusto Veloso
3^circ AVALIAÇÃO
O tubo abaixo é constituído de aço ( E=200 GPa ) tem um núcleo de alumínio ( E=70 GPa ). Sabendo que o tubo tem diâmetro externo de 80 mm e diâmetro interno de 70 mm , determine as tensões no aço e no alumínio e a deformação do sistema.

Passo 1

Então, o que a questão pede? Temos um tubo de aço (Eₛ=200 GPa) com diâmetro externo Dₒ=80 mm e interno Dᵢ=70 mm, recheado por um núcleo de alumínio (Eₐ=70 GPa) de diâmetro Dᵢ=70 mm. Queremos achar as tensões em aço (σₛ) e alumínio (σₐ) e a deformação axial ε do conjunto, quando aplicamos uma força axial P (e considerando comprimento L).
Conteúdo: barras compostas, tensão–deformação linear (Lei de Hooke), compatibilidade de deformações e equilíbrio de forças.
O que precisamos:
• Calcular área da seção de aço e de alumínio.
• Escrever Lei de Hooke σ=E·ε para cada material.
• Usar compatibilidade (mesma ε em ambos) e equilíbrio (P = σₛAₛ + σₐAₐ).

Passo 2

Calcular as áreas transversais:
Aço (área anelar)
$$A_s ;=;\frac\pi4\bigl(D_o^2 - D_i^2\bigr)
       =\frac\pi4\bigl(80^2 - 70^2\bigr)\,\mathrm{mm^2}$$  
Alumínio (área do núcleo)
$$A_a ;=;\frac\pi4,D_i^2
       =\frac\pi4\,(70)^2\,\mathrm{mm^2}$$

Passo 3

Lei de Hooke em cada material (tração uniaxial):
$$\sigma_s = E_s,\varepsilon,\qquad
\sigma_a = E_a,\varepsilon sigmas = Es,varepsilon,, sigmaa = Ea,varepsilonãçãé\varepsilon_s = \varepsilon_a = \varepsilon$$

Passo 4

Equilíbrio de forças na seção transversal:
P = sigmas,As + sigmaa,Aa = Es,varepsilon,As ;+; Ea,varepsilon,Aa = varepsilon,(EsAs + EaAa)

Passo 5

Isolando ε:
$$\boxed{\displaystyle
\varepsilon ;=;\frac{P}{,E_s,A_s ;+; E_a,A_a,}} boxed varepsilon ;=;P,Es,As ;+; Ea,Aa,ãõ\boxed{\displaystyle
\sigma_s ;=;E_s,\varepsilon
=;E_s;\frac{P}{E_sA_s + E_aA_a}
}\quade\quad
\boxed{\displaystyle
\sigma_a ;=;E_a,\varepsilon
=;E_a;\frac{P}{E_sA_s + E_aA_a}
} boxed sigmas ;=;Es,varepsilon =;Es;PEsAs + EaAa e boxed sigmaa ;=;Ea,varepsilon =;Ea;PEsAs + EaAa çãé\boxed{\displaystyle
\Delta L ;=;\varepsilon,L
=;L;\frac{P}{E_sA_s + E_aA_a}
}$$

Resposta

σₛ, σₐ e ε do sistema sob carga axial P são, em função de P e L:
ε = P/(EₛAₛ + EₐAₐ)
σₛ = Eₛ·P/(EₛAₛ + EₐAₐ)
σₐ = Eₐ·P/(EₛAₛ + EₐAₐ)
ΔL = L·P/(EₛAₛ + EₐAₐ)

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