Ou seja, (x,y) é levado em (-y,x). Isso é exatamente a regra usual de uma rotação de \tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ) no plano: um ponto com ângulo \theta em coordenadas polares passa a ter ângulo \theta+\tfrac{\pi}{2}.]
Passo 4
Agora confirmamos propriedades matriciais que caracterizam rotações:
Matrizes de rotação preservam normas (são isometrias) e satisfazem R^T R=I. Calcule B^T B:
O traço de R(\theta) é 2\cos\theta. Aqui o traço de B é
\operatorname{tr}B=0,
logo 2\cos\theta=0\Rightarrow \cos\theta=0\Rightarrow \theta=\pm\tfrac{\pi}{2}. Para decidir entre +\tfrac{\pi}{2} e -\tfrac{\pi}{2} usamos a ação em e_1: e_1 vai para e_2, isto é um giro de +\tfrac{\pi}{2} (sentido anti-horário). Assim \theta=\tfrac{\pi}{2}.]
Passo 6
Verificação direta da igualdade com a matriz de rotação:
Portanto B é exatamente a matriz de rotação de ângulo \tfrac{\pi}{2}.]
Passo 7
Comentário adicional (intuitivo e útil na prova): não há autovetores reais (os autovalores são \pm i), o que combina com a ideia de que uma rotação não fixa nenhum vetor não-nulo (exceto no caso de ângulo 0 ou \pi). A combinação de B^T B=I e \det B=1 e a ação em e_1 bastam para concluir que é uma rotação de 90^\circ no sentido anti-horário.
Resposta
Rotação de 90^\circ no sentido anti-horário (matriz de rotação R(\tfrac{\pi}{2})).