Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP
Considere
B=\left(\begin{array}{cc} 0 & -1 \\\\ 1 & 0 \end{array}\right)
Determine o tipo de transformação geométrica.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
B=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}
e pede para determinar o tipo de transformação geométrica que ela representa.
Informações fornecidas explicitamente:
  • A matriz B está dada pelos seus quatro elementos.
  • A questão pede um nome/descrição geométrica (por exemplo: rotação por certo ângulo, reflexão, dilatação, cisalhamento etc.).]

Passo 2

Vamos ver como B age sobre os vetores básicos do plano: os vetores de base canônica \,e_1=(1,0) e \,e_2=(0,1).
Calcular \,B e_1:
B e_1=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}=e_2.
Calcular \,B e_2:
B e_2=\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1\\[4pt]0\end{pmatrix}=-e_1.
Interpretação imediata: B manda e_1 em e_2 e e_2 em -e_1. Geometricamente isso sugere uma rotação que envia o eixo x para o eixo y.]

Passo 3

Vamos ver a ação em um vetor genérico (x,y). Multiplicando:
B\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt] 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-y\\[4pt]x\end{pmatrix}.
Ou seja, (x,y) é levado em (-y,x). Isso é exatamente a regra usual de uma rotação de \tfrac{\pi}{2} (ou 90^\circ) no plano: um ponto com ângulo \theta em coordenadas polares passa a ter ângulo \theta+\tfrac{\pi}{2}.]

Passo 4

Agora confirmamos propriedades matriciais que caracterizam rotações:
  • Matrizes de rotação preservam normas (são isometrias) e satisfazem R^T R=I. Calcule B^T B:
B^T=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix},\qquad B^T B=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=I.
Portanto B é ortogonal (preserva comprimentos e ângulos).
  • Determinante: para distinguir rotação própria de reflexão, calcule \det B:
\det B = 0\cdot 0 - (-1)\cdot 1 = 1.
Determinante +1 indica que a transformação preserva a orientação (é uma rotação própria, não uma reflexão).]

Passo 5

Podemos também relacionar B com a forma padrão da matriz de rotação de ângulo \theta:
R(\theta)=\begin{pmatrix}\cos\theta & -\sin\theta\\[4pt]\sin\theta & \cos\theta\end{pmatrix}.
O traço de R(\theta) é 2\cos\theta. Aqui o traço de B é
\operatorname{tr}B=0,
logo 2\cos\theta=0\Rightarrow \cos\theta=0\Rightarrow \theta=\pm\tfrac{\pi}{2}. Para decidir entre +\tfrac{\pi}{2} e -\tfrac{\pi}{2} usamos a ação em e_1: e_1 vai para e_2, isto é um giro de +\tfrac{\pi}{2} (sentido anti-horário). Assim \theta=\tfrac{\pi}{2}.]

Passo 6

Verificação direta da igualdade com a matriz de rotação:
R\!\left(\tfrac{\pi}{2}\right) =\begin{pmatrix}\cos\!\tfrac{\pi}{2} & -\sin\!\tfrac{\pi}{2}\\[4pt]\sin\!\tfrac{\pi}{2} & \cos\!\tfrac{\pi}{2}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & -1\\[4pt]1 & 0\end{pmatrix}=B.
Portanto B é exatamente a matriz de rotação de ângulo \tfrac{\pi}{2}.]

Passo 7

Comentário adicional (intuitivo e útil na prova): não há autovetores reais (os autovalores são \pm i), o que combina com a ideia de que uma rotação não fixa nenhum vetor não-nulo (exceto no caso de ângulo 0 ou \pi). A combinação de B^T B=I e \det B=1 e a ação em e_1 bastam para concluir que é uma rotação de 90^\circ no sentido anti-horário.

Resposta

Rotação de 90^\circ no sentido anti-horário (matriz de rotação R(\tfrac{\pi}{2})).

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