e pede para descrever a transformação geométrica associada.
Informações relevantes dadas:
A matriz A é 2\times2.
Componentes explícitas: primeira coluna (2,0) e segunda coluna (0,1).
A tarefa é interpretar geometricamente o efeito dessa aplicação linear em \mathbb{R}^2.]
Passo 2
Lembra como uma matriz age em vetores: multiplicar A por um vetor coluna \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\end{pmatrix} dá a imagem desse vetor pela transformação linear. As colunas de A são as imagens dos vetores da base canônica:
Interpretação direta desta fórmula: a coordenada x é multiplicada por 2 e a coordenada y fica igual. Em palavras simples: a transformação dobra a abscissa e mantém a ordenada.]
Passo 4
Consequências geométricas imediatas e exemplos:
É um esticamento (dilatação anisotrópica) ao longo do eixo x por fator 2. Ou seja, distâncias ao longo da direção x são multiplicadas por 2, distâncias na direção y permanecem iguais.
Pontos exemplares: \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}2\\[4pt]0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\[4pt]1\end{pmatrix}\mapsto\begin{pmatrix}2\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A reta x=0 (eixo y) é inteira ponto a ponto fixa pela transformação. Qualquer ponto com x\neq0 é afastado do eixo y na razão 2.]
Passo 5
Direções próprias (autovetores) e autovalores:
Resolver A v = \lambda v dá autovalores \lambda_1=2 e \lambda_2=1.
Vetores próprios correspondentes: v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix} (direção do eixo x) e v_2=\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\end{pmatrix} (direção do eixo y).
Significado: as direções dos eixos coordenados são preservadas; na direção x há fator de escala 2, na direção y fator 1 (nenhuma alteração).]
Passo 6
Efeito sobre áreas e orientação:
Determinante de A:
\det(A)=2\cdot1-0\cdot0=2.
Interpretando: áreas de figuras no plano são multiplicadas por 2 sob a transformação (por exemplo, um paralelogramo tem área dobrada). Como \det(A)>0, a orientação é preservada (não há reflexão).
que é uma elipse com semi-eixo maior 2 ao longo de x e semi-eixo 1 ao longo de y. Assim, o círculo fica “esticado” horizontalmente.
Resposta
A transformação é um esticamento (dilatação) ao longo do eixo x por fator 2 enquanto mantém a coordenada y inalterada; em fórmulas, (x,y)\mapsto(2x,y). As direções próprias são (1,0) com autovalor 2 e (0,1) com autovalor 1; \det(A)=2 (área duplicada) e A^{-1}=\begin{pmatrix}1/2 & 0\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.]