Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
Considere a rotação em torno do eixo
Calcule
.
Considere a rotação em torno do eixo
Passo 1
O enunciado fornece a matriz de rotação em torno do eixo
:
e pede para calcular a imagem do vetor
por essa rotação, ou seja, calcular
.
Informações relevantes dadas:
- A matriz
tem entradas explícitas dependentes de . - O vetor inicial é
, ou seja, a base canônica no sentido do eixo . - A tarefa é encontrar o vetor resultante após aplicar a matriz àquele vetor.]
Passo 2
Primeiro detalhe técnico: interpretar o vetor
como um vetor coluna para multiplicação matricial. Escrevendo explicitamente:
A multiplicação matriz-por-vetor é feita computando o produto escalar de cada linha da matriz com o vetor coluna. Ou seja, se
então
Aqui cada componente do resultado é a soma dos produtos entre os elementos da linha e os componentes do vetor.]
Passo 3
Aplicando essa regra ao nosso caso: as linhas de
são
O vetor
tem componentes
,
,
. Então a primeira componente do produto é
Passo 4
A segunda componente do produto é
Passo 5
A terceira componente do produto é
Passo 6
Juntando as três componentes obtemos o vetor resultante:
Como verificação intuitiva: para
esse resultado dá
, que é exatamente a rotação de
do eixo
para o eixo
.]