Universidade Federal de Pernambuco - UFPE
Considere a rotação em torno do eixo z
R_{z}(\theta)=\left(\begin{array}{ccc} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right)
Calcule R_{z}(\theta)(1,0,0).

Passo 1

O enunciado fornece a matriz de rotação em torno do eixo z:
R_{z}(\theta)=\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta & 0\\[4pt] \sin\theta & \cos\theta & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede para calcular a imagem do vetor (1,0,0) por essa rotação, ou seja, calcular R_{z}(\theta)(1,0,0).
Informações relevantes dadas:
  • A matriz R_{z}(\theta) tem entradas explícitas dependentes de \theta.
  • O vetor inicial é (1,0,0), ou seja, a base canônica no sentido do eixo x.
  • A tarefa é encontrar o vetor resultante após aplicar a matriz àquele vetor.]

Passo 2

Primeiro detalhe técnico: interpretar o vetor (1,0,0) como um vetor coluna para multiplicação matricial. Escrevendo explicitamente:
\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
A multiplicação matriz-por-vetor é feita computando o produto escalar de cada linha da matriz com o vetor coluna. Ou seja, se
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \quad\text{e}\quad \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\\[4pt]v_3\end{pmatrix},
então
A\mathbf{v}=\begin{pmatrix} a_{11}v_1+a_{12}v_2+a_{13}v_3\\[6pt] a_{21}v_1+a_{22}v_2+a_{23}v_3\\[6pt] a_{31}v_1+a_{32}v_2+a_{33}v_3 \end{pmatrix}.
Aqui cada componente do resultado é a soma dos produtos entre os elementos da linha e os componentes do vetor.]

Passo 3

Aplicando essa regra ao nosso caso: as linhas de R_{z}(\theta) são
\text{linha 1}=(\cos\theta,\; -\sin\theta,\; 0), \qquad \text{linha 2}=(\sin\theta,\; \cos\theta,\; 0), \qquad \text{linha 3}=(0,\;0,\;1).
O vetor \mathbf{v} tem componentes v_1=1, v_2=0, v_3=0. Então a primeira componente do produto é
\text{componente 1}=\cos\theta\cdot 1 + (-\sin\theta)\cdot 0 + 0\cdot 0 = \cos\theta.

Passo 4

A segunda componente do produto é
\text{componente 2}=\sin\theta\cdot 1 + \cos\theta\cdot 0 + 0\cdot 0 = \sin\theta.

Passo 5

A terceira componente do produto é
\text{componente 3}=0\cdot 1 + 0\cdot 0 + 1\cdot 0 = 0.

Passo 6

Juntando as três componentes obtemos o vetor resultante:
R_{z}(\theta)\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]0\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}\cos\theta\\[4pt]\sin\theta\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Como verificação intuitiva: para \theta=\tfrac{\pi}{2} esse resultado dá (0,1,0), que é exatamente a rotação de 90^\circ do eixo x para o eixo y.]

Resposta

(\cos\theta,\sin\theta,0)

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