3. Dinâmica de População de Verhulst (1838):
Considere
como a capacidade de carregamento da população. O modelo de Verhulst é dado pela e.d.o.:
(a) Mostre que a e.d.o. (4) tem como solução:
(b) Plote, em um mesmo gráfico, a solução (5) usando
e três diferentes condições iniciais:
.
(c) Escreva a equação acima em função das grandezas
e
e obtenha:
Qual a vantagem de usar este procedimento? Obs.: Veja referencias [4, 3].
(c) Escreva a equação acima em função das grandezas
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (tudo que vou usar em seguida).
- Foi dada a equação diferencial ordinária inicial:
com constantes positivas
(taxa) e
(capacidade de carregamento), e condição inicial
.
- Perguntas:
(a) encontrar a soluçãoque satisfaz a EDO com a condição inicial;
(b) fazer um mesmo gráfico da solução para, e três condições iniciais , , ;
(c) definir as grandezas, e e escrever a solução em função delas, obtendo e comentar a vantagem desse procedimento. - Valores numéricos que usarei no item (b):
, , e as três indicadas. - Observação: a solução pedida em (a) está na forma logística clássica; vou mostrar a dedução passo a passo, aplicar a condição inicial e também reescrever a solução na forma pedida em (c).
Passo 2
Separação de variáveis e integração — derivação passo a passo da solução geral.
Começo reescrevendo a EDO para separar
e
:
Agora simplifico a fração à esquerda. Como
, tenho
Logo a integral fica
Passo 3
Integração usando frações parciais — detalhe didático.
Faço frações parciais no integrando
. Procuro
e
tais que
Somando as frações do lado direito dá
Para isso ser
é preciso que
e
. Assim
e
. Portanto
Integro agora:
Cuidado com a segunda integral:
. Assim
ou, agrupando logaritmos,
Passo 4
Resolver para
e aplicar condição inicial.
Exponencio ambos os lados:
onde
é constante positiva. Isolando
:
Logo
Uso a condição inicial
para determinar
. Em
:
Substituo
na expressão de
:
Dividindo numerador e denominador por
(ou reescrevendo de forma mais usual) obtenho a forma clássica:
Passo 5
Mostrar que a forma encontrada é equivalente à forma do enunciado.
A forma que deduzi é
A forma dada no enunciado é
Para ver que são idênticas, note que
logo as duas expressões coincidem. Assim a solução pedida em (a) fica demonstrada.
Passo 6
Preparação para o gráfico (item b): escrever explicitamente as três soluções e simplificar para calcular pontos.
Com
e
a solução geral é
Para cada
:
-
Para
: então -
Para
: então -
Para
: então
Passo 7
Tabela de valores numéricos para ajudar a traçar o gráfico (valores aproximados, usei
,
,
).
Calcularei
em
(o tempo é em unidades compatíveis com
).
-
Para
( ): -
: (condição inicial). -
: denom , então . -
: denom , . -
: denom , .
-
-
Para
( ): -
: . -
: denom , . -
: denom , . -
: denom , .
-
-
Para
( ): -
: . -
: denom , . -
: denom , . -
: denom , .
-
Observações para o gráfico:
- Eixo
: tempo (por exemplo de a ou até para ver convergência). - Eixo
: população (por exemplo de a para incluir ). - Traçar curvas suaves que passam pelos pontos calculados; todas as curvas tendem para
quando . - Interpretação qualitativa:
decresce monotonicamente para ; crescem monotonicamente para . Como é relativamente grande, a aproximação a é rápida (já quase alcançada por ).
Passo 8
Não dimensionalização (item c): derivação passo a passo da fórmula em termos de
,
e
.
Defino
Parto da forma útil da solução que obtive:
Divido ambos os lados por
:
Como
, substituo:
Multiplicando numerador e denominador por
:
Esta é exatamente a forma pedida.
Passo 9
Vantagens de escrever a solução nessa forma não dimensional (resumo prático e amigável).
- Reduz o número de parâmetros: a dinâmica agora depende apenas do parâmetro adimensional
e do tempo adimensional , o que facilita comparar situações diferentes sem variar unidades. - Revela semelhança entre soluções: diferentes sistemas com o mesmo
têm curvas idênticas em escala adimensional — basta reescalar. - Facilita análise qualitativa: pontos fixos, estabilidade e escalas de tempo aparecem claramente (por exemplo,
mostra a escala temporal natural ). - Útil numericamente: reduz erros por escalas grandes e facilita varreduras de parâmetros em simulações.
- Em provas ou modelos, é prático — desenha-se uma família de curvas parametrizada só por
em vez de por separadamente.
Resposta
(a)
(b) Para
as três curvas são:
(c) Com
obtém-se
Vantagem: reduz parâmetros e torna as soluções comparáveis e universais (facilita análise qualitativa e numérica).
Vantagem: reduz parâmetros e torna as soluções comparáveis e universais (facilita análise qualitativa e numérica).