3. Dinâmica de População de Verhulst (1838):

Considere K como a capacidade de carregamento da população. O modelo de Verhulst é dado pela e.d.o.:
\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{~d} t}=r N\left(1-\frac{N}{K}\right) ;
(a) Mostre que a e.d.o. (4) tem como solução:
N(t)=\frac{K}{1-\left(1-\frac{K}{N_{0}}\right) e^{-r t}} ;
(b) Plote, em um mesmo gráfico, a solução (5) usando r=2, K=100 e três diferentes condições iniciais: N_{0}=140, N_{0}=20, N_{0}=70.
(c) Escreva a equação acima em função das grandezas y=N(t) / N_{0}, k=N_{0} / K e \tau=r t e obtenha:
y=\frac{1}{k+(1-k) e^{-\tau}} .
Qual a vantagem de usar este procedimento? Obs.: Veja referencias [4, 3].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (tudo que vou usar em seguida).
  • Foi dada a equação diferencial ordinária inicial:
\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=r\,N\!\left(1-\frac{N}{K}\right),
com constantes positivas r (taxa) e K (capacidade de carregamento), e condição inicial N(0)=N_{0}.
  • Perguntas:
    (a) encontrar a solução N(t) que satisfaz a EDO com a condição inicial;
    (b) fazer um mesmo gráfico da solução para r=2, K=100 e três condições iniciais N_{0}=140, N_{0}=20, N_{0}=70;
    (c) definir as grandezas y=N(t)/N_{0}, k=N_{0}/K e \tau=r t e escrever a solução em função delas, obtendo y=\frac{1}{k+(1-k)e^{-\tau}},e comentar a vantagem desse procedimento.
  • Valores numéricos que usarei no item (b): r=2, K=100, e as três N_{0} indicadas.
  • Observação: a solução pedida em (a) está na forma logística clássica; vou mostrar a dedução passo a passo, aplicar a condição inicial e também reescrever a solução na forma pedida em (c).

Passo 2

Separação de variáveis e integração — derivação passo a passo da solução geral.
Começo reescrevendo a EDO para separar N e t:
\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=rN\left(1-\frac{N}{K}\right) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}N}{N\left(1-\dfrac{N}{K}\right)}=r\,\mathrm{d}t.
Agora simplifico a fração à esquerda. Como 1-\dfrac{N}{K}=\dfrac{K-N}{K}, tenho
\frac{1}{N\left(1-\dfrac{N}{K}\right)} =\frac{1}{N}\cdot\frac{K}{K-N} =\frac{K}{N(K-N)}.
Logo a integral fica
\int \frac{K}{N(K-N)}\,\mathrm{d}N=\int r\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Integração usando frações parciais — detalhe didático.
Faço frações parciais no integrando \dfrac{K}{N(K-N)}. Procuro A e B tais que
\frac{K}{N(K-N)}=\frac{A}{N}+\frac{B}{K-N}.
Somando as frações do lado direito dá
\frac{A(K-N)+BN}{N(K-N)}=\frac{AK+N(B-A)}{N(K-N)}.
Para isso ser \dfrac{K}{N(K-N)} é preciso que AK=K e B-A=0. Assim A=1 e B=1. Portanto
\frac{K}{N(K-N)}=\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}.
Integro agora:
\int\left(\frac{1}{N}+\frac{1}{K-N}\right)\mathrm{d}N=\int r\,\mathrm{d}t.
Cuidado com a segunda integral: \int \frac{1}{K-N}\mathrm{d}N=-\ln|K-N|. Assim
\ln|N|-\ln|K-N|=r t + C,
ou, agrupando logaritmos,
\ln\!\left(\frac{N}{K-N}\right)=r t + C.

Passo 4

Resolver para N(t) e aplicar condição inicial.
Exponencio ambos os lados:
\frac{N}{K-N}=C' e^{r t},
onde C'=e^{C} é constante positiva. Isolando N:
N = (K-N)\,C'e^{r t} \quad\Longrightarrow\quad N\big(1+C'e^{r t}\big)=K C'e^{r t}.
Logo
N(t)=\frac{K C'e^{r t}}{1+C'e^{r t}}.
Uso a condição inicial N(0)=N_{0} para determinar C'. Em t=0:
\frac{N_{0}}{K-N_{0}}=C'.
Substituo C' na expressão de N(t):
N(t)=\frac{K \dfrac{N_{0}}{K-N_{0}} e^{r t}}{1+\dfrac{N_{0}}{K-N_{0}} e^{r t}} =\frac{K N_{0} e^{r t}}{(K-N_{0})+N_{0} e^{r t}}.
Dividindo numerador e denominador por N_{0} e^{r t} (ou reescrevendo de forma mais usual) obtenho a forma clássica:
N(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K}{N_{0}}-1\right)e^{-r t}}.

Passo 5

Mostrar que a forma encontrada é equivalente à forma do enunciado.
A forma que deduzi é
N(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K}{N_{0}}-1\right)e^{-r t}}.
A forma dada no enunciado é
N(t)=\frac{K}{1-\left(1-\dfrac{K}{N_{0}}\right)e^{-r t}}.
Para ver que são idênticas, note que
1-\left(1-\dfrac{K}{N_{0}}\right)e^{-r t} =1-e^{-r t}+\dfrac{K}{N_{0}}e^{-r t} =1+\left(\dfrac{K}{N_{0}}-1\right)e^{-r t},
logo as duas expressões coincidem. Assim a solução pedida em (a) fica demonstrada.

Passo 6

Preparação para o gráfico (item b): escrever explicitamente as três soluções e simplificar para calcular pontos.
Com K=100 e r=2 a solução geral é
N(t)=\frac{100}{1+\left(\dfrac{100}{N_{0}}-1\right)e^{-2t}}.
Para cada N_{0}:
  • Para N_{0}=140:
    \frac{100}{N_{0}}-1=\frac{100}{140}-1=\frac{5}{7}-1=-\frac{2}{7}\approx-0{,}285714,
    então
    N_{140}(t)=\frac{100}{1-\tfrac{2}{7}e^{-2t}}.
  • Para N_{0}=70:
    \frac{100}{70}-1=\frac{10}{7}-1=\frac{3}{7}\approx0{,}428571,
    então
    N_{70}(t)=\frac{100}{1+\tfrac{3}{7}e^{-2t}}.
  • Para N_{0}=20:
    \frac{100}{20}-1=5-1=4,
    então
    N_{20}(t)=\frac{100}{1+4e^{-2t}}.

Passo 7

Tabela de valores numéricos para ajudar a traçar o gráfico (valores aproximados, usei e^{-1}\approx0{,}3679, e^{-2}\approx0{,}1353, e^{-4}\approx0{,}0183).
Calcularei N(t) em t=0,\;0{,}5,\;1,\;2 (o tempo é em unidades compatíveis com r).
  • Para N_{0}=140 ( N_{140}(t)=\dfrac{100}{1-0{,}285714\,e^{-2t}}):
    • t=0: N=140 (condição inicial).
    • t=0{,}5: e^{-2t}=e^{-1}\approx0{,}3679\Rightarrow denom =1-0{,}285714\cdot0{,}3679\approx0{,}8949, então N\approx100/0{,}8949\approx111{,}8.
    • t=1: e^{-2}\approx0{,}1353\Rightarrow denom \approx0{,}9613, N\approx104{,}1.
    • t=2: e^{-4}\approx0{,}0183\Rightarrow denom \approx0{,}9948, N\approx100{,}5.
  • Para N_{0}=70 ( N_{70}(t)=\dfrac{100}{1+0{,}428571\,e^{-2t}}):
    • t=0: N=70.
    • t=0{,}5: denom \approx1+0{,}428571\cdot0{,}3679\approx1{,}1571, N\approx86{,}4.
    • t=1: denom \approx1{,}0585, N\approx94{,}5.
    • t=2: denom \approx1{,}0079, N\approx99{,}2.
  • Para N_{0}=20 ( N_{20}(t)=\dfrac{100}{1+4e^{-2t}}):
    • t=0: N=20.
    • t=0{,}5: denom \approx1+4\cdot0{,}3679\approx2{,}4716, N\approx40{,}5.
    • t=1: denom \approx1{,}5413, N\approx64{,}9.
    • t=2: denom \approx1{,}0733, N\approx93{,}2.
Observações para o gráfico:
  • Eixo x: tempo t (por exemplo de 0 a 2 ou até 3 para ver convergência).
  • Eixo y: população N (por exemplo de 0 a 160 para incluir N_{0}=140).
  • Traçar curvas suaves que passam pelos pontos calculados; todas as curvas tendem para K=100 quando t\to\infty.
  • Interpretação qualitativa: N_{0}=140>K decresce monotonicamente para 100; N_{0}=20,70<K crescem monotonicamente para 100. Como r=2 é relativamente grande, a aproximação a K é rápida (já quase alcançada por t=2).

Passo 8

Não dimensionalização (item c): derivação passo a passo da fórmula em termos de y, k e \tau.
Defino
y=\frac{N(t)}{N_{0}},\qquad k=\frac{N_{0}}{K},\qquad \tau=r t.
Parto da forma útil da solução que obtive:
N(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K}{N_{0}}-1\right)e^{-r t}}.
Divido ambos os lados por N_{0}:
y=\frac{N(t)}{N_{0}}=\frac{\dfrac{K}{N_{0}}}{1+\left(\dfrac{K}{N_{0}}-1\right)e^{-\tau}}.
Como \dfrac{K}{N_{0}}=\dfrac{1}{k}, substituo:
y=\frac{\dfrac{1}{k}}{1+\left(\dfrac{1}{k}-1\right)e^{-\tau}}.
Multiplicando numerador e denominador por k:
y=\frac{1}{k + (1-k)e^{-\tau}}.
Esta é exatamente a forma pedida.

Passo 9

Vantagens de escrever a solução nessa forma não dimensional (resumo prático e amigável).
  • Reduz o número de parâmetros: a dinâmica agora depende apenas do parâmetro adimensional k=N_{0}/K e do tempo adimensional \tau, o que facilita comparar situações diferentes sem variar unidades.
  • Revela semelhança entre soluções: diferentes sistemas com o mesmo k têm curvas idênticas em escala adimensional — basta reescalar.
  • Facilita análise qualitativa: pontos fixos, estabilidade e escalas de tempo aparecem claramente (por exemplo, e^{-\tau} mostra a escala temporal natural 1/r).
  • Útil numericamente: reduz erros por escalas grandes e facilita varreduras de parâmetros em simulações.
  • Em provas ou modelos, é prático — desenha-se uma família de curvas parametrizada só por k em vez de por r,K,N_{0} separadamente.

Resposta

(a) \displaystyle N(t)=\frac{K}{1+\left(\dfrac{K}{N_{0}}-1\right)e^{-r t}}.
(b) Para r=2,\\ K=100 as três curvas são:
\displaystyle N_{140}(t)=\frac{100}{1-\tfrac{2}{7}e^{-2t}},
\displaystyle N_{70}(t)=\frac{100}{1+\tfrac{3}{7}e^{-2t}},
\displaystyle N_{20}(t)=\frac{100}{1+4e^{-2t}}.
(c) Com y=\dfrac{N(t)}{N_{0}},\\ k=\dfrac{N_{0}}{K},\\ \tau=r t obtém-se
\displaystyle y=\frac{1}{k+(1-k)e^{-\tau}}.
Vantagem: reduz parâmetros e torna as soluções comparáveis e universais (facilita análise qualitativa e numérica).

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