(URCA/2024.2) Sejam x e y números reais tais que 3 x-y=4. Determine a soma x+y sabendo que o produto de x e y é o menor possível.
A) \frac{2}{3}
B) \frac{4}{3}
C) -\frac{2}{3}
D) -\frac{4}{3}
E) 2

Passo 1

O enunciado dá dois números reais x e y sujeitos à condição
3x - y = 4
e pede que encontremos x+y no ponto em que o produto xy seja mínimo. O conteúdo usado será otimização de uma função quadrática obtida por substituição da restrição.

Passo 2

Da restrição isolamos
y = 3x - 4
e substituímos em xy, definindo
f(x) = x\,y = x\,(3x - 4) = 3x^2 - 4x.

Passo 3

A função f(x)=3x^2-4x é uma parábola com concavidade para cima a=3>0, cujo mínimo ocorre no vértice. A abscissa do vértice é
x_{\min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2\cdot3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Passo 4

No ponto x=\tfrac{2}{3} a restrição dá
y = 3\cdot\frac{2}{3} - 4 = 2 - 4 = -2.

Passo 5

Logo, a soma procurada é
x + y = \frac{2}{3} + (-2) = \frac{2}{3} - \frac{6}{3} = -\frac{4}{3}.

Resposta

-\tfrac{4}{3}

Exercícios relacionados