(URCA/2024.2) Uma circunferência \mathcal{C} passa pelos pontos B=(2,-2), C=(2,4) e D=(5,1). A distância do centro da circunferência \mathcal{C} à reta que passa pelos pontos C e D é:
A) \frac{2 \sqrt{3}}{2}
B) \frac{\sqrt{3}}{2}
C) \frac{2 \sqrt{3}}{3}
D) \frac{3 \sqrt{2}}{2}
E) \frac{\sqrt{2}}{2}

Passo 1

O enunciado dá três pontos B=(2,-2), C=(2,4) e D=(5,1) pertencentes a uma circunferência \mathcal{C}, e pede a distância do centro dessa circunferência à reta que passa por C e D. Para resolver, vamos (1) encontrar o centro O de \mathcal{C} como interseção de duas mediatrizes de segmentos formados pelos pontos dados e (2) calcular a distância de O à reta CD.

Passo 2

Considere o segmento BC. Como B e C têm mesmas abscissas x=2, a mediatriz de BC é a reta horizontal que passa pelo ponto médio de BC.
O ponto médio de BC é
M_{BC} = \bigl(2,\tfrac{-2+4}{2}\bigr) = (2,1).
Logo, a mediatriz de BC é
y = 1.

Passo 3

Agora o segmento BD. A inclinação de BD é
m_{BD} = \frac{1 - (-2)}{5 - 2} = 1,
então a sua mediatriz terá inclinação -1. O ponto médio de BD é
M_{BD} = \Bigl(\tfrac{2+5}{2},\,\tfrac{-2+1}{2}\Bigr) = (3{,}5,\,-0{,}5).
A equação da mediatriz de BD é a reta de coeficiente angular -1 passando por (3{,}5,-0{,}5):
y + 0{,}5 = -1\,(x - 3{,}5) \quad\Longrightarrow\quad y = -x + 3.

Passo 4

O centro O\) da circunferência é a interseção das duas mediatrizes. Resolvendo \[\begin{cases} y = 1,\\\ y = -x + 3, \end{cases}
obtém-se 1 = -x + 3\], de onde \(x = 2. Portanto
O = (2,1).

Passo 5

A reta que passa por C=(2,4) e D=(5,1) tem coeficiente angular -1. Em forma geral ax+by+c=0, pode-se escrever
y-4 = -1\,(x-2) \quad\Longrightarrow\quad x + y - 6 = 0.

Passo 6

A distância do ponto O=(2,1) à reta x+y-6=0 é dada por
d = \frac{\bigl|2 + 1 - 6\bigr|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\frac{3\sqrt{2}}{2} (alternativa D)

Exercícios relacionados