(URCA/2024.2) Um sólido no formato de um cilindro circular reto tem área total igual a 50 \mathrm{~cm}^{2}. Se o produto do raio pela altura é igual a 3 vezes a soma do raio com a altura, calcule o volume desse sólido.
A) 75 \mathrm{~cm}^{3}
B) 95 \mathrm{~cm}^{3}
C) 80 \mathrm{~cm}^{3}
D) 85 \mathrm{~cm}^{3}
E) 90 \mathrm{~cm}^{3}

Passo 1

O enunciado dá um cilindro de raio r>0 e altura h>0 cuja área total (duas bases mais parte lateral) vale
2\pi r^2 + 2\pi r h = 50,
e diz que
r\,h = 3\,(r + h).
Queremos o volume
V = \pi r^2 h.

Passo 2

Da área total dividimos por 2\pi, obtendo
r^2 + r\,h \;=\;\frac{50}{2\pi} \;=\;\frac{25}{\pi}.
Da relação r\,h =3(r+h) isolamos h:
h(r-3)=3r \quad\Longrightarrow\quad h=\frac{3r}{\,r-3\,},
válido apenas para r\neq3.

Passo 3

Substituindo h=\tfrac{3r}{r-3} em r^2 + r\,h =25/\pi:
r^2 + r\cdot\frac{3r}{r-3} =\frac{r^2(r-3)+3r^2}{r-3} =\frac{r^3}{r-3} \;\overset{!}{=}\;\frac{25}{\pi}
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\frac{r^3}{r-3}=\frac{25}{\pi} \quad\Longrightarrow\quad \pi\,r^3-25r+75=0.

Passo 4

Analisando \displaystyle f(r)=\pi r^3-25r+75 para r>3 (pois h>0\Rightarrow r>3), verifica-se que
f'(r)=3\pi r^2-25>0\quad\forall r>1{,}63,
e que \lim_{r\to3^+}f(r)=+\infty. Portanto f(r)>0 para todo r>3 e a equação f(r)=0 não admite raiz positiva r>3.

Resposta

Não há pares (r,h) reais positivos que satisfaçam simultaneamente a área total de 50,c m^{2} e r\,h=3(r+h). Logo, com os dados dados, não existe volume real para esse cilindro.

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