(URCA/2024.2) Seja k um inteiro positivo. Sabendo que k(k+1)=2\binom{k+1}{2}, calcule o valor da soma 1 \cdot 2+2 \cdot 3+3 \cdot 4 \cdot \cdots+29 \cdot 30.
A) 7.990
B) 8.990
C) 8.890
D) 7.890
E) 6.890

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma
\sum_{k=1}^{29} k(k+1),
sabendo que k é inteiro positivo. O conteúdo aqui é manipular somatórios e usar as fórmulas de \sum k e \sum k^2.

Passo 2

Repare que o termo geral pode ser escrito como
k(k+1)=k^2+k.

Passo 3

Portanto
\sum_{k=1}^{29}k(k+1) =\sum_{k=1}^{29}k^2+\sum_{k=1}^{29}k.
Usamos as fórmulas conhecidas:
\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}, \qquad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Passo 4

Para n=29 temos
\sum_{k=1}^{29}k=\frac{29\cdot30}{2}=435, \qquad \sum_{k=1}^{29}k^2=\frac{29\cdot30\cdot59}{6}=8555.
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\sum_{k=1}^{29}k(k+1)=8555+435=8990.

Resposta

8990

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