(URCA/2024.2) Considere as matrizes A= \left(\begin{array}{ccc}-1 & -2 & 3 \\\\ 2 & -1 & 1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}x-2 & 4 & x-3 \\\\ -1 & 5 & 2\end{array}\right). Seja C=A B^{t} uma matriz, onde B^{t} denota a transposta de B. Determine o valor de x para que o determinante da matriz C seja igual a 15 .
A) 25
B) 30
C) 27
D) 35
E) 23

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A=\begin{pmatrix}-1 & -2 & 3 \\[6pt] 2 & -1 & 1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}x-2 & 4 & x-3 \\[3pt] -1 & 5 & 2\end{pmatrix}
e pede C = A\,B^{t}, onde B^{t} é a transposta de B, de tal forma que \det\text{(C)}=15. Vamos calcular C como produto de uma 2\times3 por uma 3\times2, obter \det\text{(C)} em função de x e igualar a 15.]

Passo 2

Cada elemento de C é produto escalar das linhas de A pelas linhas de B. Assim,
C_{11} = (-1)(x-2)+(-2)(4)+3(x-3) = -x+2 -8 +3x -9 =2x -15,
C_{12} = (-1)(-1)+(-2)(5)+3\cdot2 =1 -10 +6 =-3,
C_{21} = 2(x-2)+(-1)(4)+1(x-3) =2x -4 -4 +x -3 =3x -11,
C_{22} = 2(-1)+(-1)(5)+1\cdot2 =-2 -5 +2 =-5.
Logo
C = \begin{pmatrix}2x-15 & -3\\[3pt]3x-11 & -5\end{pmatrix}.]

Passo 3

O determinante de C é
\det\text{(C)} = (2x-15)(-5) - (-3)(3x-11) = -10x +75 +9x -33 = -x +42.

Passo 4

Igualando a 15:
-x +42 = 15 \quad\Longrightarrow\quad -x = -27 \quad\Longrightarrow\quad x = 27.

Resposta

A alternativa correta é 27, ou seja, a letra C.

Exercícios relacionados