Uma urna contém 10 bolas: 5 Brancas (B), 3 Vermelhas (V) e 2 Azuis (A). Duas bolas são retiradas da urna, sem reposição. Calcule a probabilidade de:
Ambas serem Brancas. P\left(B_{1} \cap B_{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao retirar duas bolas sem reposição de uma urna com 10 bolas (sendo 5 Brancas, 3 Vermelhas e 2 Azuis), ambas as bolas retiradas sejam brancas. Em notação, queremos calcular
P\left(B_{1} \cap B_{2}\right).
Dados fornecidos:
\text{Total de bolas} = 10,\quad \text{Brancas} = 5,\quad \text{Vermelhas} = 3,\quad \text{Azuis} = 2.
A retirada é feita sem reposição (isso afeta as probabilidades do segundo sorteio).

Passo 2

Vou usar a ideia básica da probabilidade conjunta para eventos sequenciais sem reposição:
P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A).
Aqui P(B\mid A) é a probabilidade de ocorrer B dado que A já ocorreu — isso se chama probabilidade condicional. Intuição: a chance de dois eventos acontecerem em sequência é a chance do primeiro acontecer multiplicada pela chance do segundo acontecer após o primeiro ter ocorrido.

Passo 3

Calculemos P(B_{1}), a probabilidade de a primeira bola ser branca. Há 5 brancas entre 10 bolas, então
P(B_{1})=\frac{5}{10}.

Passo 4

Agora P(B_{2}\mid B_{1}), a probabilidade de a segunda bola ser branca sabendo que a primeira já saiu e era branca. Se a primeira foi branca, restam 4 brancas e o total de bolas passa a 9. Assim
P(B_{2}\mid B_{1})=\frac{4}{9}.

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
P\left(B_{1}\cap B_{2}\right)=P(B_{1})\cdot P(B_{2}\mid B_{1})=\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}.
Faço a simplificação passo a passo:
\frac{5}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{9}=\frac{4}{18}=\frac{2}{9}.

Passo 6

Como checagem, apresento um método alternativo (combinatório), que dá o mesmo resultado: contar combinações favoráveis divididas pelo total de combinações de 2 bolas dentre 10.
\text{Favorable}=\binom{5}{2},\qquad \text{Total}=\binom{10}{2}.
Calculo:
\binom{5}{2}=\frac{5\cdot4}{2}=10,\qquad \binom{10}{2}=\frac{10\cdot9}{2}=45.
Portanto
\frac{\binom{5}{2}}{\binom{10}{2}}=\frac{10}{45}=\frac{2}{9},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{2}{9}

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