Uma urna contém 6 bolas azuis, 5 bolas verdes e 7 bolas vermelhas. Três bolas serão retiradas sem reposição. Determine a probabilidade de:
a) as 3 bolas serem de mesma cor;

Passo 1

O enunciado fornece: uma urna com 6 bolas azuis, 5 bolas verdes e 7 bolas vermelhas. Serão retiradas 3 bolas sem reposição. A pergunta é: qual a probabilidade de as 3 bolas serem de mesma cor?
Informações relevantes:
  • Número de bolas azuis: 6.
  • Número de bolas verdes: 5.
  • Número de bolas vermelhas: 7.
  • Total de bolas: 6 + 5 + 7 = 18.
  • Retiradas: 3 bolas, sem reposição.
  • Evento pedido: as 3 bolas retiradas serem todas da mesma cor (pode ser todas azuis, ou todas verdes, ou todas vermelhas).

Passo 2

Escolhemos resolver por contagem (combinatória): vamos contar de quantas maneiras podemos retirar 3 bolas quaisquer do total e de quantas maneiras podemos retirar 3 bolas todas da mesma cor. Em probabilidades discretas equiprováveis:
\text{Probabilidade}=\frac{\text{nº de maneiras favoráveis}}{\text{nº de maneiras possíveis}}.ºáºí
Aqui usamos a combinação \binom{n}{k}, que conta de quantas formas diferentes se escolhem k objetos dentre n sem ordem. A fórmula é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial de n) é n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1. Por exemplo, \binom{18}{3} é o número de maneiras de escolher 3 bolas dentre as 18 sem considerar ordem.
Calculemos o número total de maneiras possíveis de retirar 3 bolas de 18:
\binom{18}{3}=\frac{18\cdot17\cdot16}{3\cdot2\cdot1}.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{18\cdot17\cdot16}{6}=\frac{4896}{6}=816.
Portanto, existem 816 maneiras possíveis de escolher qualquer conjunto de 3 bolas.

Passo 3

Agora vamos contar as maneiras favoráveis: somamos as maneiras de tirar 3 azuis, mais as de tirar 3 verdes, mais as de tirar 3 vermelhas.
Maneiras de tirar 3 azuis:
\binom{6}{3}=\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1}=\frac{120}{6}=20.
Maneiras de tirar 3 verdes:
\binom{5}{3}=\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1}=\frac{60}{6}=10.
Maneiras de tirar 3 vermelhas:
\binom{7}{3}=\frac{7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}=\frac{210}{6}=35.
Somando as maneiras favoráveis:
20 + 10 + 35 = 65.

Passo 4

Aplicando a fórmula da probabilidade com as contagens obtidas:
\text{Probabilidade}=\frac{\text{nº de maneiras favoráveis}}{\text{nº de maneiras possíveis}}=\frac{65}{816}.ºáºí
Como checagem alternativa (opcional): calcular P(3\\ \text{azuis}) pela regra multiplicativa sem reposição dá
\frac{6}{18}\cdot\frac{5}{17}\cdot\frac{4}{16}=\frac{6\cdot5\cdot4}{18\cdot17\cdot16}=\frac{120}{4896}=\frac{20}{816},
que coincide com \dfrac{\binom{6}{3}}{\binom{18}{3}}. Fazendo o mesmo para as outras cores e somando obtém-se novamente \dfrac{65}{816}.

Resposta

\dfrac{65}{816}\approx0{,}07966\approx7{,}966\%

Exercícios relacionados