Uma urna contém 6 bolas azuis, 5 bolas verdes e 7 bolas vermelhas. Três bolas serão retiradas sem reposição. Determine a probabilidade de:
a) as 3 bolas serem de mesma cor;
a) as 3 bolas serem de mesma cor;
Passo 1
O enunciado fornece: uma urna com
bolas azuis,
bolas verdes e
bolas vermelhas. Serão retiradas
bolas sem reposição. A pergunta é: qual a probabilidade de as
bolas serem de mesma cor?
Informações relevantes:
- Número de bolas azuis:
. - Número de bolas verdes:
. - Número de bolas vermelhas:
. - Total de bolas:
. - Retiradas:
bolas, sem reposição. - Evento pedido: as
bolas retiradas serem todas da mesma cor (pode ser todas azuis, ou todas verdes, ou todas vermelhas).
Passo 2
Escolhemos resolver por contagem (combinatória): vamos contar de quantas maneiras podemos retirar
bolas quaisquer do total e de quantas maneiras podemos retirar
bolas todas da mesma cor. Em probabilidades discretas equiprováveis:
Aqui usamos a combinação
, que conta de quantas formas diferentes se escolhem
objetos dentre
sem ordem. A fórmula é
onde
(fatorial de
) é
. Por exemplo,
é o número de maneiras de escolher
bolas dentre as
sem considerar ordem.
Calculemos o número total de maneiras possíveis de retirar
bolas de
:
Agora simplifico passo a passo:
Portanto, existem
maneiras possíveis de escolher qualquer conjunto de
bolas.
Passo 3
Agora vamos contar as maneiras favoráveis: somamos as maneiras de tirar
azuis, mais as de tirar
verdes, mais as de tirar
vermelhas.
Maneiras de tirar
azuis:
Maneiras de tirar
verdes:
Maneiras de tirar
vermelhas:
Somando as maneiras favoráveis:
Passo 4
Aplicando a fórmula da probabilidade com as contagens obtidas:
Como checagem alternativa (opcional): calcular
pela regra multiplicativa sem reposição dá
que coincide com
. Fazendo o mesmo para as outras cores e somando obtém-se novamente
.