Os registros indicam que 34 de 956 pessoas que recentemente visitaram a África Central contraíram malária. Qual é a probabilidade de que uma pessoa que recentemente visitou a África Central não tenha contraído malária?

Passo 1

O enunciado dá dois números e pede uma probabilidade:
  • Número de pessoas que visitaram a África Central: \,956\,.
  • Destas, número que contraíram malária: \,34\,.
Pergunta do enunciado: qual é a probabilidade de que uma pessoa que recentemente visitou a África Central não tenha contraído malária?

Passo 2

Primeiro, o que significa “probabilidade” aqui (no sentido clássico, que é o suficiente para este problema): a probabilidade de um evento é a razão entre o número de casos favoráveis e o número total de casos possíveis, quando todos os casos são igualmente prováveis.
Seja \,A\, o evento “a pessoa contraiu malária”. Então
P(A)=\frac{\text{número que contraíram}}{\text{número total}}.úíú
As quantidades do enunciado serão usadas nessa fórmula.

Passo 3

Calculemos a probabilidade de ter contraído malária:
P(A)=\frac{34}{956}.
Podemos simplificar essa fração dividindo numerador e denominador por 2:
P(A)=\frac{34}{956}=\frac{17}{478}.

Passo 4

O evento complementar A^c é “a pessoa não contraiu malária”. A propriedade fundamental das probabilidades de eventos complementares é:
P(A^c)=1-P(A).
Isto ocorre porque ou o evento A acontece ou não acontece (são mutuamente exclusivos e exaustivos), então as probabilidades somam 1.

Passo 5

Aplicando a fórmula do complemento ao nosso caso:
P(A^c)=1-\frac{34}{956}=\frac{956-34}{956}=\frac{922}{956}.
Agora simplificamos \dfrac{922}{956} dividindo por 2:
\frac{922}{956}=\frac{461}{478}.

Passo 6

Se for útil expressar em número decimal, vamos obter uma aproximação. Podemos usar P(A^c)=1-\dfrac{17}{478}. Fazendo a divisão longa de \dfrac{17}{478} (mostrando os primeiros passos):
  • 17\div478=0, resto 17.
  • Acrescenta zero: 170\div478=0 (mas para o primeiro dígito depois da vírgula notamos que 1700\div478=3, pois 3\cdot478=1434); assim o começo é 0,03.
  • Continuando a divisão obtém-se \dfrac{17}{478}\approx0,03556485\ldots.
Portanto
P(A^c)=1-0,03556485\ldots \approx 0,96443515\ldots
Arredondando para quatro casas decimais:
P(A^c)\approx 0,9644.

Passo 7

Interpretação: isso significa que cerca de 96{,}44\% das pessoas que visitaram a região não contraíram malária (ou, em forma de fração reduzida, \dfrac{461}{478}). Boa notícia num certo sentido, mas atenção: isso é apenas a probabilidade empírica estimada a partir dos dados informados.

Resposta

\dfrac{461}{478}\approx 0,9644

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