Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral. Represente os eventos, abaixo, usando as operações: união, interseção e complementar.
b) somente B tenha ocorrido;
b) somente B tenha ocorrido;
Passo 1
O enunciado dá três eventos
,
e
de um espaço amostral e pede que se represente, usando união, interseção e complementar, o evento “somente
tenha ocorrido”.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Eventos:
, , . - Operações permitidas: união
, interseção e complementar . - Pedido: escrever o conjunto de resultados em que ocorre
e não ocorrem nem .
Passo 2
Entender a frase “somente
tenha ocorrido” em linguagem lógica de eventos: isso significa que ocorre
E (
AND
NÃO ocorre
E NÃO ocorre
.
Em termos de operações de conjuntos:
Em termos de operações de conjuntos:
- "ocorre
" corresponde a ; - "não ocorre
" corresponde a ; - "não ocorre
" corresponde a ; - “E” corresponde à interseção
.
Portanto, a tradução direta é a interseção desses três eventos.
Passo 3
Escrever a expressão direta em forma matemática (cada fórmula em bloco, isolada):
Explicação didática: essa expressão pega todos os resultados que pertencem a
e, ao mesmo tempo, pertencem ao complementar de
(ou seja, não pertencem a
) e ao complementar de
(ou seja, não pertencem a
). Logo, são exatamente os resultados em que somente
ocorre.
Passo 4
Apresentar uma forma equivalente usando a lei de De Morgan (útil para simplificar ou escrever de outra maneira). A lei de De Morgan diz que o complementar da união é a interseção dos complementares:
Usando isso, a expressão do Passo 3 pode ser reescrita como:
Interpretação curta: são os pontos de
que não estão em
nem em
, isto é,
excluindo tudo que esteja em
ou em
.
Passo 5
Outra notação comum (não exigida, mas útil na prova) é a diferença de conjuntos. Usando diferença, pode-se escrever:
o que é exatamente o mesmo evento “somente
ocorreu”.