Sejam A, B e C eventos de um espaço amostral. Represente os eventos, abaixo, usando as operações: união, interseção e complementar.
b) somente B tenha ocorrido;

Passo 1

O enunciado dá três eventos A, B e C de um espaço amostral e pede que se represente, usando união, interseção e complementar, o evento “somente B tenha ocorrido”.
Informações relevantes fornecidas:
  • Eventos: A, B, C.
  • Operações permitidas: união \cup, interseção \cap e complementar (\cdot)^{c}.
  • Pedido: escrever o conjunto de resultados em que ocorre B e não ocorrem A nem C.

Passo 2

Entender a frase “somente B tenha ocorrido” em linguagem lógica de eventos: isso significa que ocorre B E ( AND ) NÃO ocorre A E NÃO ocorre C.
Em termos de operações de conjuntos:
  • "ocorre B" corresponde a B;
  • "não ocorre A" corresponde a A^{c};
  • "não ocorre C" corresponde a C^{c};
  • “E” corresponde à interseção \cap.
    Portanto, a tradução direta é a interseção desses três eventos.

Passo 3

Escrever a expressão direta em forma matemática (cada fórmula em bloco, isolada):
B \cap A^{c} \cap C^{c}
Explicação didática: essa expressão pega todos os resultados que pertencem a B e, ao mesmo tempo, pertencem ao complementar de A (ou seja, não pertencem a A) e ao complementar de C (ou seja, não pertencem a C). Logo, são exatamente os resultados em que somente B ocorre.

Passo 4

Apresentar uma forma equivalente usando a lei de De Morgan (útil para simplificar ou escrever de outra maneira). A lei de De Morgan diz que o complementar da união é a interseção dos complementares:
(A \cup C)^{c} = A^{c} \cap C^{c}.
Usando isso, a expressão do Passo 3 pode ser reescrita como:
B \cap (A \cup C)^{c}.
Interpretação curta: são os pontos de B que não estão em A nem em C, isto é, B excluindo tudo que esteja em A ou em C.

Passo 5

Outra notação comum (não exigida, mas útil na prova) é a diferença de conjuntos. Usando diferença, pode-se escrever:
B \setminus (A \cup C) = B \cap (A \cup C)^{c},
o que é exatamente o mesmo evento “somente B ocorreu”.

Resposta

B \cap A^{c} \cap C^{c}
B \cap (A \cup C)^{c}

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