Uma urna contém 8 bolas brancas e 4 bolas pretas. Se extraem duas bolas, uma a cada vez, com reposição. Seja A o evento “a primeira bola extraída é branca” e seja B o evento “pelo menos uma das bolas extraídas é branca”. Obter:
a) P(A \cap B)
b) P\left(A^{c} \cap B\right)
c) P\left(A^{c} \cap B^{c}\right)
d) P(A \mid B)
e) P\left(A \mid B^{c}\right)
f) P(B \mid A)
g) P\left(B \mid A^{c}\right)
Resposta: a) 2 / 3; b) 2 / 9; c) 1 / 9; d) 3 / 4; e) 0 ; f) 1 ; g) 3 / 2

Passo 1

O enunciado: temos uma urna com 8 bolas brancas e 4 bolas pretas (total 12). Extraímos duas bolas com reposição, logo cada extração é independente e a probabilidade de tirar branca é sempre 8/12 e de preta é 4/12. Definimos:
  • A: primeira bola é branca.
  • B: pelo menos uma das duas bolas é branca.
    Vamos calcular probabilidades simples, conjuntas e condicionais.

Passo 2

Calculamos primeiro as probabilidades básicas:
P(A)=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}, \quad P(A^{c})=1-P(A)=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}.
P(B^{c})=\text{nenhuma branca}=(\tfrac{4}{12})^2=\frac{1}{9}, \quad P(B)=1-P(B^{c})=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}.

Passo 3

Probabilidades conjuntas:
  • P(A\cap B): se a primeira é branca, já temos “pelo menos uma branca”, logo
P(A\cap B)=P(A)=\frac{2}{3}.
  • P(A^{c}\cap B): primeira preta e pelo menos uma branca só se a segunda for branca,
P(A^{c}\cap B)=\frac{4}{12}\cdot\frac{8}{12}=\frac{32}{144}=\frac{2}{9}.
  • P(A^{c}\cap B^{c}): ambas pretas,
P(A^{c}\cap B^{c})=\left(\frac{4}{12}\right)^2=\frac{1}{9}.

Passo 4

Probabilidade condicional P(A\mid B):
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{8}{9}} =\frac{2}{3}\cdot\frac{9}{8} =\frac{3}{4}.

Passo 5

Probabilidade condicional P\bigl(A\mid B^{c}\bigr): não é possível ter A (primeira branca) se B^{c} (nenhuma branca), então
P\bigl(A\mid B^{c}\bigr)=0.

Passo 6

Probabilidade condicional P(B\mid A): se a primeira é branca, o evento “pelo menos uma branca” ocorre com certeza,
P(B\mid A)=1.

Passo 7

Probabilidade condicional P\bigl(B\mid A^{c}\bigr): dada a primeira preta, “pelo menos uma branca” exige que a segunda seja branca,
P\bigl(B\mid A^{c}\bigr) =\frac{P(A^{c}\cap B)}{P(A^{c})} =\frac{\tfrac{2}{9}}{\tfrac{1}{3}} =\frac{2}{9}\cdot 3 =\frac{2}{3}.

Resposta

a) \displaystyle \frac{2}{3}
b) \displaystyle \frac{2}{9}
c) \displaystyle \frac{1}{9}
d) \displaystyle \frac{3}{4}
e) 0
f) 1
g) \displaystyle \frac{2}{3}

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