Um contador tem sobre a sua mesa dois grupos de 20 planilhas cada um. No primeiro grupo existem duas planilhas com erros de cálculo e no segundo há três. Um vento faz com que as planilhas caiam da mesa e, ao arrumá-las, uma do primeiro grupo se mistura às do segundo grupo. Qual a probabilidade de que, ao revisar uma planilha do segundo grupo, o contador encontre um erro? Resposta: 31 / 210

Passo 1

O enunciado descreve dois grupos de 20 planilhas cada: no primeiro há 2 com erro e no segundo 3. Uma planilha do primeiro grupo é transferida ao segundo de forma aleatória. Precisamos usar probabilidade condicional e a lei da probabilidade total para achar a chance de, ao revisar uma planilha escolhida ao acaso do segundo grupo (agora com 21 planilhas), encontrar um erro.

Passo 2

Definimos os eventos: T_e: a planilha transferida é com erro, T_c: a planilha transferida é correta.
Temos
P(T_e)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}, \quad P(T_c)=\frac{18}{20}=\frac{9}{10}.

Passo 3

Calculamos a probabilidade de escolher uma planilha com erro do segundo grupo em cada caso:
se T_e ocorreu, o segundo grupo passa a ter 3+1=4 erros em 21 planilhas, logo
P(E\mid T_e)=\frac{4}{21}.
se T_c ocorreu, mantém-se 3 erros em 21 planilhas, logo
P(E\mid T_c)=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}.

Passo 4

Pela lei da probabilidade total,
P(E) = P(E\mid T_e)\,P(T_e) \;+\; P(E\mid T_c)\,P(T_c).

Passo 5

Substituindo os valores:
P(E) = \frac{4}{21}\cdot\frac{1}{10} \;+\; \frac{3}{21}\cdot\frac{9}{10} = \frac{4 + 27}{210} = \frac{31}{210}.

Resposta

\displaystyle \frac{31}{210}

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