Uma urna contém seis bolas pretas e cinco bolas amarelas. Extraem-se, sequencialmente, três bolas dessa urna, sem reposição. Qual é a probabilidade de que as três bolas sejam da mesma cor?

Passo 1

O enunciado diz que temos uma urna com 6 bolas pretas e 5 bolas amarelas, total de 11 bolas, e extraímos 3 bolas sem reposição. Queremos a probabilidade de sair três bolas da mesma cor. Para resolver, vamos modelar o espaço amostral como todas as combinações de 3 bolas dentre 11 (hipergeométrica) e contar os casos favoráveis (todas pretas ou todas amarelas).

Passo 2

O total de maneiras de escolher 3 bolas dentre 11 é
\binom{11}{3} \;=\;\frac{11\cdot10\cdot9}{3\cdot2\cdot1}\;=\;165.
Os casos favoráveis dividem-se em:
  1. Três pretas: \binom{6}{3} maneiras.
  2. Três amarelas: \binom{5}{3} maneiras.
    Logo, o número total de casos favoráveis é
\binom{6}{3} + \binom{5}{3} \;=\;\frac{6\cdot5\cdot4}{3\cdot2\cdot1} \;+\;\frac{5\cdot4\cdot3}{3\cdot2\cdot1} \;=\;20 \;+\;10 \;=\;30.

Passo 3

A probabilidade pedida é a razão entre casos favoráveis e total:
P = \frac{\binom{6}{3} + \binom{5}{3}}{\binom{11}{3}} = \frac{30}{165} = \frac{6}{33} = \frac{2}{11}.

Resposta

A probabilidade de que as três bolas sejam da mesma cor é \tfrac{2}{11}.

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