De quantas maneiras podemos colocar 6 homens e 6 mulheres em uma mesa para jogar truco, de forma que um homem sempre esteja entre duas mulheres e vice-versa, isto é, não haja dois homens nem duas mulheres sentados lado a lado?

Passo 1

O enunciado pede o número de disposições circulares de 6 homens e 6 mulheres em volta de uma mesa, de modo que nunca fiquem dois homens ou duas mulheres vizinhos. Isso é um problema de permutação circular com restrição de alternância de gêneros.

Passo 2

Para garantir que os gêneros se alternem, vamos imaginar primeiro que temos assentos marcados alternadamente para homens e para mulheres. Assim, entre cada par de homens há exatamente um assento de mulher e vice-versa.

Passo 3

Num arranjo circular, as rotações não são distintas. Para remover essa simetria, fixamos um dos homens em um assento qualquer. Restam então 5 homens a serem posicionados nos outros 5 lugares reservados a homens, o que pode ser feito de
5!
maneiras.

Passo 4

Com os homens já alocados, sobraram 6 lugares reservados a mulheres, e 6 mulheres para ocupar esses lugares. A permutação dessas mulheres é
6!
maneiras.

Passo 5

Como as escolhas são independentes (disposição dos homens times disposição das mulheres), o total de arranjos é
5! times 6!

Resposta

5! times 6! ;=; 120 times 720 ;=; 86400

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