De quantas maneiras podemos colocar 6 homens e 6 mulheres em uma mesa para jogar truco, de forma que um homem sempre esteja entre duas mulheres e vice-versa, isto é, não haja dois homens nem duas mulheres sentados lado a lado?
Passo 1
O enunciado pede o número de disposições circulares de
homens e
mulheres em volta de uma mesa, de modo que nunca fiquem dois homens ou duas mulheres vizinhos. Isso é um problema de permutação circular com restrição de alternância de gêneros.
Passo 2
Para garantir que os gêneros se alternem, vamos imaginar primeiro que temos assentos marcados alternadamente para homens e para mulheres. Assim, entre cada par de homens há exatamente um assento de mulher e vice-versa.
Passo 3
Num arranjo circular, as rotações não são distintas. Para remover essa simetria, fixamos um dos homens em um assento qualquer. Restam então
homens a serem posicionados nos outros
lugares reservados a homens, o que pode ser feito de
maneiras.
Passo 4
Com os homens já alocados, sobraram
lugares reservados a mulheres, e
mulheres para ocupar esses lugares. A permutação dessas mulheres é
maneiras.
Passo 5
Como as escolhas são independentes (disposição dos homens
disposição das mulheres), o total de arranjos é