• 2 Uma urna contém 4 bolas vermelhas e 6 bolas azuis. Uma bola é retirada e não é reposta; em seguida, uma segunda bola é retirada. Qual é a probabilidade de que as duas bolas sejam da mesma cor?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • A urna contém \,4 bolas vermelhas e \,6 bolas azuis.
  • Uma bola é retirada e não é reposta; em seguida, retira-se uma segunda bola.
  • Pergunta: qual é a probabilidade de que as duas bolas retiradas sejam da mesma cor?

Passo 2

Explicando a ferramenta principal que vamos usar (a ideia que normalmente cai na prova):
  • Quando eventos acontecem em sequência sem reposição, a probabilidade conjunta de dois eventos A e B é dada pela regra do produto:
P(A\cap B)=P(A)\,P(B\mid A).
Aqui P(B\mid A) é a probabilidade de B acontecer depois que A já aconteceu (probabilidade condicional).
  • No nosso caso vamos dividir o evento “duas da mesma cor” em dois casos disjuntos: “duas vermelhas” e “duas azuis”. Como esses casos não acontecem ao mesmo tempo, a probabilidade total é a soma das probabilidades de cada caso:
P(\text{mesma cor})=P(\text{2 vermelhas})+P(\text{2 azuis}).

Passo 3

Calcular P(\text{2 vermelhas}):
  • Probabilidade de a primeira ser vermelha:
P(\text{1ª vermelha})=\frac{4}{10},ª
porque há \,4 vermelhas entre \,10 bolas no total.
  • Se a primeira foi vermelha, restam \,3 vermelhas e \,9 bolas no total, então
P(\text{2ª vermelha}\mid \text{1ª vermelha})=\frac{3}{9}.ªª
  • Usando a regra do produto:
P(\text{2 vermelhas})=\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}.
Agora simplifico passo a passo:
\frac{4}{10}\cdot\frac{3}{9}=\frac{12}{90}.
Dividindo numerador e denominador por \,6:
\frac{12}{90}=\frac{2}{15}.

Passo 4

Calcular P(\text{2 azuis}):
  • Probabilidade de a primeira ser azul:
P(\text{1ª azul})=\frac{6}{10}.ª
  • Se a primeira foi azul, restam \,5 azuis e \,9 bolas, então
P(\text{2ª azul}\mid \text{1ª azul})=\frac{5}{9}.ªª
  • Pela regra do produto:
P(\text{2 azuis})=\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}.
Faço a multiplicação e simplificação:
\frac{6}{10}\cdot\frac{5}{9}=\frac{30}{90}=\frac{1}{3}.

Passo 5

Somar os dois casos (soma de eventos disjuntos):
P(\text{mesma cor})=P(\text{2 vermelhas})+P(\text{2 azuis})=\frac{2}{15}+\frac{1}{3}.
Coloco em denominador comum \,15:
\frac{2}{15}+\frac{1}{3}=\frac{2}{15}+\frac{5}{15}=\frac{7}{15}.

Passo 6

Checagem alternativa (opcional, para ganhar confiança na resposta): calcular a probabilidade das cores serem diferentes e subtrair de 1.
  • Probabilidade de primeira vermelha e segunda azul:
\frac{4}{10}\cdot\frac{6}{9}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}.
  • Probabilidade de primeira azul e segunda vermelha:
\frac{6}{10}\cdot\frac{4}{9}=\frac{24}{90}=\frac{4}{15}.
  • Soma (cores diferentes):
\frac{4}{15}+\frac{4}{15}=\frac{8}{15}.
  • Então 1-\frac{8}{15}=\frac{7}{15}, confirma o resultado anterior.

Passo 7

Interpretação final e incentivo rápido: a probabilidade de tirar duas bolas da mesma cor sem reposição é \tfrac{7}{15}, que em decimal é aproximadamente 0,466\overline{6}. Vai dar tudo certo na prova — pratique mais alguns problemas parecidos que envolvem dependência entre eventos e você vai dominar essa técnica rapidinho!

Resposta

\dfrac{7}{15} (aproximadamente 0,466\overline{6})

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