Em uma urna, existem
bolas assim distribuídas:
(quantidade de bolas vermelhas).
(quantidade de bolas azuis); e
(quantidade de bolas pretas). Qual é a probabilidade de retirarmos
bolas, sendo
(n° de bolas vermelhas),
(n° de bolas azuis) e
(n° de bolas pretas)?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (corrigi uma notação pequena para ficar consistente):
- Dados fornecidos:
-
= número de bolas vermelhas. -
= número de bolas azuis (o enunciado escreveu ; aqui uso para ficar uniforme). -
= número de bolas pretas. -
= total de bolas na urna. Implicitamente deve valer
- Será retirado um total de
bolas, obtendo-se vermelhas, azuis e pretas.
-
- O que se pede:
- A probabilidade de, ao retirar
bolas (sem reposição), obter exatamente vermelhas, azuis e pretas.
- A probabilidade de, ao retirar
Condições que devem ser satisfeitas para o problema fazer sentido:
Passo 2
Intuição combinatória e definição do espaço amostral.
Quando se tira bolas sem reposição e a ordem em que elas saem não interessa (só interessa quantas de cada cor), todas as combinações de
bolas dentre as
são igualmente prováveis. O número total de maneiras de escolher
bolas entre
(sem ordem) é dado pelo coeficiente binomial
Quando se tira
onde
(fatorial) é o produto
e por convenção
. Este
conta quantas amostras diferentes de tamanho
se pode formar.
Explicação curta do porquê: escolher
itens entre
sem ordem é contar subconjuntos de tamanho
; o número desses subconjuntos é
.
Passo 3
Contagem dos casos favoráveis.
Para conseguir exatamente vermelhas,
azuis e
pretas, procede-se assim (de forma combinatória e sem ordem dentro de cada cor):
Para conseguir exatamente
- Escolher quais
bolas saem entre as vermelhas: maneiras. - Escolher quais
bolas saem entre as azuis: maneiras. - Escolher quais
bolas saem entre as pretas: maneiras.
Como as escolhas em cores diferentes são independentes entre si (escolher um subconjunto vermelho não afeta de que forma se escolhem os azuis além das quantidades), o princípio multiplicativo diz que o número total de maneiras favoráveis é o produto:
Passo 4
Construção da probabilidade usando contagem.
Probabilidade = (nº de casos favoráveis) / (nº de casos totais). Portanto
Probabilidade = (nº de casos favoráveis) / (nº de casos totais). Portanto
Este é o chamado modelo hipergeométrico multivariado (multivariate hypergeometric distribution). Ele assume retirada sem reposição e que a ordem não importa.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (faça na prova igualzinho):
Suponha ,
,
(logo
). Retirar
bolas e querer
,
,
. Verificações:
e cada
. Então
Suponha
Logo a probabilidade é
Fácil de calcular passo a passo sem calculadora: calcule cada binomial pelo fatorial ou por simplificação.
Passo 6
Dicas práticas para a prova (resumo rápido que funciona como checklist):
- Verifique as condições:
e . Se alguma não valer, a probabilidade é zero. - Calcule cada
. Se algum , lembrar que . - Calcule
para o denominador. - Forme a razão
. - Se a amostra for com reposição, aí o modelo muda e passa a ser multinomial (não use a fórmula acima nesse caso).
Força aí — segue o procedimento e dá pra fazer rápido na prova. Se quiser, me passe números específicos que eu calculo junto.
Resposta
com a condição
e
.