Em uma urna, existem N bolas assim distribuídas: N_{V} (quantidade de bolas vermelhas). A_{A} (quantidade de bolas azuis); e N_{P} (quantidade de bolas pretas). Qual é a probabilidade de retirarmos n bolas, sendo n_{V} (n° de bolas vermelhas), n_{A} (n° de bolas azuis) e n_{P} (n° de bolas pretas)?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado dá e o que pede (corrigi uma notação pequena para ficar consistente):
  • Dados fornecidos:
    • N_V = número de bolas vermelhas.
    • N_A = número de bolas azuis (o enunciado escreveu A_A; aqui uso N_A para ficar uniforme).
    • N_P = número de bolas pretas.
    • N = total de bolas na urna. Implicitamente deve valer
    N = N_V + N_A + N_P.
    • Será retirado um total de n bolas, obtendo-se n_V vermelhas, n_A azuis e n_P pretas.
  • O que se pede:
    • A probabilidade de, ao retirar n bolas (sem reposição), obter exatamente n_V vermelhas, n_A azuis e n_P pretas.
Condições que devem ser satisfeitas para o problema fazer sentido:
n = n_V + n_A + n_P,\qquad 0\le n_V\le N_V,\quad 0\le n_A\le N_A,\quad 0\le n_P\le N_P.

Passo 2

Intuição combinatória e definição do espaço amostral.
Quando se tira n bolas sem reposição e a ordem em que elas saem não interessa (só interessa quantas de cada cor), todas as combinações de n bolas dentre as N são igualmente prováveis. O número total de maneiras de escolher n bolas entre N (sem ordem) é dado pelo coeficiente binomial
\binom{N}{n}=\frac{N!}{n!(N-n)!},
onde k! (fatorial) é o produto k!=k(k-1)\cdots1 e por convenção 0!=1. Este \binom{N}{n} conta quantas amostras diferentes de tamanho n se pode formar.
Explicação curta do porquê: escolher n itens entre N sem ordem é contar subconjuntos de tamanho n; o número desses subconjuntos é \binom{N}{n}.

Passo 3

Contagem dos casos favoráveis.
Para conseguir exatamente n_V vermelhas, n_A azuis e n_P pretas, procede-se assim (de forma combinatória e sem ordem dentro de cada cor):
  • Escolher quais n_V bolas saem entre as N_V vermelhas: \binom{N_V}{n_V} maneiras.
  • Escolher quais n_A bolas saem entre as N_A azuis: \binom{N_A}{n_A} maneiras.
  • Escolher quais n_P bolas saem entre as N_P pretas: \binom{N_P}{n_P} maneiras.
Como as escolhas em cores diferentes são independentes entre si (escolher um subconjunto vermelho não afeta de que forma se escolhem os azuis além das quantidades), o princípio multiplicativo diz que o número total de maneiras favoráveis é o produto:
\binom{N_V}{n_V}\binom{N_A}{n_A}\binom{N_P}{n_P}.

Passo 4

Construção da probabilidade usando contagem.
Probabilidade = (nº de casos favoráveis) / (nº de casos totais). Portanto
\text{Probabilidade} \;=\; \dfrac{\binom{N_V}{n_V}\,\binom{N_A}{n_A}\,\binom{N_P}{n_P}}{\binom{N}{n}}.
Este é o chamado modelo hipergeométrico multivariado (multivariate hypergeometric distribution). Ele assume retirada sem reposição e que a ordem não importa.

Passo 5

Exemplo numérico rápido para fixar a ideia (faça na prova igualzinho):
Suponha N_V=3, N_A=2, N_P=1 (logo N=6). Retirar n=3 bolas e querer n_V=2, n_A=1, n_P=0. Verificações: 2+1+0=3 e cada n_i\le N_i. Então
\binom{N_V}{n_V}=\binom{3}{2}=3,\quad \binom{N_A}{n_A}=\binom{2}{1}=2,\quad \binom{N_P}{n_P}=\binom{1}{0}=1,
\binom{N}{n}=\binom{6}{3}=20.
Logo a probabilidade é
\frac{3\cdot2\cdot1}{20}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10}.
Fácil de calcular passo a passo sem calculadora: calcule cada binomial pelo fatorial ou por simplificação.

Passo 6

Dicas práticas para a prova (resumo rápido que funciona como checklist):
  1. Verifique as condições: n=n_V+n_A+n_P e n_i\le N_i. Se alguma não valer, a probabilidade é zero.
  2. Calcule cada \binom{N_i}{n_i}. Se algum n_i=0, lembrar que \binom{N_i}{0}=1.
  3. Calcule \binom{N}{n} para o denominador.
  4. Forme a razão \dfrac{\binom{N_V}{n_V}\binom{N_A}{n_A}\binom{N_P}{n_P}}{\binom{N}{n}}.
  5. Se a amostra for com reposição, aí o modelo muda e passa a ser multinomial (não use a fórmula acima nesse caso).
Força aí — segue o procedimento e dá pra fazer rápido na prova. Se quiser, me passe números específicos que eu calculo junto.

Resposta

\boxed{\displaystyle \frac{\binom{N_V}{n_V}\,\binom{N_A}{n_A}\,\binom{N_P}{n_P}}{\binom{N}{n}}}
com a condição \,n=n_V+n_A+n_P e 0\le n_V\le N_V,\;0\le n_A\le N_A,\;0\le n_P\le N_P.

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