Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de:
O primeiro resultado ser maior do que o segundo?
O primeiro resultado ser maior do que o segundo?
Passo 1
O enunciado dá que dois dados são lançados simultaneamente e pede a probabilidade de que o primeiro resultado seja maior do que o segundo. Informações relevantes fornecidas:
- Cada dado tem faces numeradas de
a . - Os lançamentos são feitos ao mesmo tempo, então cada resultado pode ser visto como um par ordenado
, onde é o valor do primeiro dado e o valor do segundo. - A pergunta é: calcular
.
Passo 2
Definir claramente o espaço amostral e por que os elementos são igualmente prováveis.
Quando lançamos dois dados justos, cada dado tem
possíveis resultados e os lançamentos são independentes. Portanto cada par ordenado
com
e
é um resultado possível. O número total de resultados possíveis é
Assumindo dados justos, todos esses
resultados são igualmente prováveis. Assim, para calcular a probabilidade de um evento basta contar quantos resultados favoráveis existem e dividir por
.
Passo 3
Contar explicitamente os resultados favoráveis (ou seja, todos os pares
com
).
Para cada valor de
no primeiro dado, conte quantos
do segundo dado satisfazem
:
- Se
, nenhum com . Favoráveis: . - Se
, pode ser . Favoráveis: . - Se
, pode ser . Favoráveis: . - Se
, pode ser . Favoráveis: . - Se
, pode ser . Favoráveis: . - Se
, pode ser . Favoráveis: .
Somando:
Usando a fórmula da soma dos primeiros
inteiros,
, obtemos
Portanto há
resultados favoráveis.
Passo 4
Calcular a probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais e simplificar a fração.
A probabilidade pedida é
Simplificando dividindo numerador e denominador por
:
Passo 5
Explicação alternativa (intuição por simetria), útil para decorar rápido: existem
resultados em que
(os empates:
). Restam
resultados onde
. Pela simetria entre primeiro e segundo dado, metade desses
têm
e metade têm
, logo
favoráveis, levando à mesma probabilidade
.
Passo 6
Conclusão rápida e dica para prova: pense no espaço amostral como pares ordenados e use contagem direta ou simetria. Resultado final em forma de fração reduzida e também em porcentagem para intuição: