Dois dados são lançados simultaneamente. Qual é a probabilidade de:
O primeiro resultado ser maior do que o segundo?

Passo 1

O enunciado dá que dois dados são lançados simultaneamente e pede a probabilidade de que o primeiro resultado seja maior do que o segundo. Informações relevantes fornecidas:
  • Cada dado tem faces numeradas de 1 a 6.
  • Os lançamentos são feitos ao mesmo tempo, então cada resultado pode ser visto como um par ordenado (x,y), onde x é o valor do primeiro dado e y o valor do segundo.
  • A pergunta é: calcular \Pr(x>y).

Passo 2

Definir claramente o espaço amostral e por que os elementos são igualmente prováveis.
Quando lançamos dois dados justos, cada dado tem 6 possíveis resultados e os lançamentos são independentes. Portanto cada par ordenado (x,y) com x\in\{1,2,3,4,5,6\} e y\in\{1,2,3,4,5,6\} é um resultado possível. O número total de resultados possíveis é
6\times6=36.
Assumindo dados justos, todos esses 36 resultados são igualmente prováveis. Assim, para calcular a probabilidade de um evento basta contar quantos resultados favoráveis existem e dividir por 36.

Passo 3

Contar explicitamente os resultados favoráveis (ou seja, todos os pares (x,y) com x>y).
Para cada valor de x no primeiro dado, conte quantos y do segundo dado satisfazem y<x:
  • Se x=1, nenhum y com y<1. Favoráveis: 0.
  • Se x=2, y pode ser 1. Favoráveis: 1.
  • Se x=3, y pode ser 1,2. Favoráveis: 2.
  • Se x=4, y pode ser 1,2,3. Favoráveis: 3.
  • Se x=5, y pode ser 1,2,3,4. Favoráveis: 4.
  • Se x=6, y pode ser 1,2,3,4,5. Favoráveis: 5.
Somando:
0+1+2+3+4+5=\sum_{k=1}^{5}k.
Usando a fórmula da soma dos primeiros n inteiros, \sum_{k=1}^{n}k=\dfrac{n(n+1)}{2}, obtemos
\sum_{k=1}^{5}k=\frac{5\cdot6}{2}=15.
Portanto há 15 resultados favoráveis.

Passo 4

Calcular a probabilidade como razão entre casos favoráveis e casos totais e simplificar a fração.
A probabilidade pedida é
\Pr(x>y)=\frac{15}{36}.
Simplificando dividindo numerador e denominador por 3:
\frac{15}{36}=\frac{5}{12}.

Passo 5

Explicação alternativa (intuição por simetria), útil para decorar rápido: existem 6 resultados em que x=y (os empates: (1,1),(2,2),\dots,(6,6)). Restam 36-6=30 resultados onde x\neq y. Pela simetria entre primeiro e segundo dado, metade desses 30 têm x>y e metade têm x<y, logo 30/2=15 favoráveis, levando à mesma probabilidade \dfrac{15}{36}=\dfrac{5}{12}.

Passo 6

Conclusão rápida e dica para prova: pense no espaço amostral como pares ordenados e use contagem direta ou simetria. Resultado final em forma de fração reduzida e também em porcentagem para intuição:
\Pr(x>y)=\frac{5}{12}\approx 41{,}66\%.

Resposta

\dfrac{5}{12}

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